Інтеграл Бернуллі

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка » для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі також відкрита чудова теорема, відома під його іменем.

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Головна теорема інтегрального числення

Якщо у функції [math]f(x)[/math] існує первісна [math]F(x)[/math], то

[math]I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)[/math]

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

Інтегра́л Берну́ллі(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску [math]p[/math], що встановився: ([math]p=F(\rho)[/math]) через швидкість [math]\vec v[/math] потоку у відповідній точці та через силову функцію [math]\vec u(x,y,z)[/math] об'ємних сил.

Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння Ейлора,відповідно [math]\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}[/math]-Rp,де Rp . Це рівняння має назву - рівняння ідеальної рідини.Інший його вигляд:

[math]\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p[/math] цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу : [math]\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp[/math]

[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u[/math]
Стала [math]C[/math] має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала [math]C[/math] одна і таж для всього потоку.
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи інтегралом Коші—Лагранжа) має місце за наявності потенціалу швидкостей:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)[/math],
причому [math]\mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)[/math] а [math]f(t)[/math] — довільна функція часу.
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду [math]\frac{p}{\rho}[/math] для баротропного газу ([math]p=F(\rho)[/math]) — до вигляду:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\[/math]
Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

Інтеграл

Невизначений інтеграл

[math]\int_a^x B_n(t)\,dt = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}[/math]

[math]\int_a^x E_n(t)\,dt = \frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}[/math]

Визначений інтеграл

[math]\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \mbox { for } m,n \ge 1[/math]

[math]\int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}[/math]

Література

Милн-Томсон Л. М. «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964