Відмінності між версіями «Інтеграл Бернуллі»

(Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу)
(Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу)
Рядок 78: Рядок 78:
  
 
Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
 
Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
 +
Тоді стала інтегрування
 +
 +
<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>
  
 
==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==
 
==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Версія за 00:58, 25 квітня 2011

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка » для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

Danielbernoulli.jpg

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.



Головна теорема інтегрального числення

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції [math]f(x)[/math] існує первісна [math]F(x)[/math], то

[math]I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)[/math]

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.



Інтегра́л Берну́ллі(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску [math]p[/math], що встановився: ([math]p=F(\rho)[/math]) через швидкість [math]\vec v[/math] потоку у відповідній точці та через силову функцію [math]\vec u(x,y,z)[/math] об'ємних сил.

Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

[math]-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}[/math]

[math]-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}[/math]

[math]-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}[/math]

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на [math]{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}[/math] і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

[math]-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}[/math]

Оскільки : [math]{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt[/math] то маємо :

[math]-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}[/math]

АБО

[math]\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0[/math] (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

[math]\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const[/math] (9.15)

Рівняння (9.15)називають інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу

Для випадку адіабатичної течії газу

[math]\frac{p}{\rho ^{k}}=C[/math] чи [math]p=C\rho ^{k}[/math] (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

[math]dp=Ck\rho ^{k-1}dp[/math]

і тоді


[math]\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const[/math]

а з урахуванням (9.16)

[math]\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const[/math]

Таким чином,інтеграл Бернулліматиме таку форму запису:

[math]\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.[/math] (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку [math]u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},[/math] Тоді стала інтегрування

[math]const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}[/math]

Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння Ейлора,відповідно [math]\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}[/math]-Rp,де Rp . Це рівняння має назву - рівняння ідеальної рідини.Інший його вигляд:


[math]\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p[/math] цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу : [math]\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp[/math]. Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то [math]\mu[/math] (коофіцієнт в'язкості)=0 і [math]\lambda[/math] =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний ([math]\frac{V}{\partial t}=0[/math]) і зовнішні сили мають потенціал ([math]F=\sigma U[/math]),тоді при наступних умовах поділивши на р матимемо : [math]R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V[/math],тому що ([math]W=\frac{1}{2}\cdot rotV[/math]) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію P-для якої є свій інтеграл: [math]P=\int \frac{\partial p}{\rho }[/math] слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім [math]\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}[/math] введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є [math]\gamma[/math] .

[math]P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}[/math] функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

[math]\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0[/math]

звітси маємо : [math]\frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )[/math].Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл Бернуллі.

Кінцевий вигляд інтегралу

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу [math]P=f(\rho )[/math]через швидкість потоку [math]V[/math] у відповідній точці і через силову функцію [math]u(x,y,z)[/math] об'ємних сил:


[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u[/math]
Стала [math]C[/math] має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала [math]C[/math] одна і таж для всього потоку.
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи інтегралом Коші—Лагранжа) має місце за наявності потенціалу швидкостей:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)[/math],
причому [math]\mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)[/math] а [math]f(t)[/math] — довільна функція часу.
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду [math]\frac{p}{\rho}[/math] для баротропного газу ([math]p=F(\rho)[/math]) — до вигляду:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\[/math]

Окремі випадки

1)Випадок коли [math]\rho =const[/math] тоді [math]P=\frac{p}{\rho }+const[/math]. 2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді [math]\frac{p}{\rho }=RT=const[/math]. [math]P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const[/math] 3)


Практичне застосування

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.Гідроаеромеханіки - наука про рух і рівновагу рідин і газів.


Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої ​​рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

[math]\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}[/math]

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

[math]V_{2}=\sqrt{2gh}[/math]

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

1010.jpg

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.






Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

Література

Милн-Томсон Л. М. «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.


Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.