Інтеграл Бернуллі

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка » для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Головна теорема інтегрального числення

Якщо у функції [math]f(x)[/math] існує первісна [math]F(x)[/math], то

[math]I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)[/math]

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

Інтегра́л Берну́ллі(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску [math]p[/math], що встановився: ([math]p=F(\rho)[/math]) через швидкість [math]\vec v[/math] потоку у відповідній точці та через силову функцію [math]\vec u(x,y,z)[/math] об'ємних сил.

Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння Ейлора,відповідно [math]\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}[/math]-Rp,де Rp . Це рівняння має назву - рівняння ідеальної рідини.Інший його вигляд:

[math]\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p[/math] цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу : [math]\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp[/math]. Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то [math]\mu[/math] (коофіцієнт в'язкості)=0 і [math]\lambda[/math] =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний ([math]\frac{V}{\partial t}=0[/math]) і зовнішні сили мають потенціал ([math]F=\sigma U[/math]),тоді при наступних умовах поділивши на р матимемо : [math]R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V[/math],тому що ([math]W=\frac{1}{2}\cdot rotV[/math]) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію P-для якої є свій інтеграл: [math]P=\int \frac{\partial p}{\rho }[/math] слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім [math]\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}[/math] введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є [math]\gamma[/math] .

[math]P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}[/math] функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

[math]\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0[/math]

звітси маємо : [math]\frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )[/math].Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл Бернуллі.

Кінцевий вигляд інтегралу

[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u[/math]
Стала [math]C[/math] має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала [math]C[/math] одна і таж для всього потоку.
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи інтегралом Коші—Лагранжа) має місце за наявності потенціалу швидкостей:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)[/math],
причому [math]\mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)[/math] а [math]f(t)[/math] — довільна функція часу.
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду [math]\frac{p}{\rho}[/math] для баротропного газу ([math]p=F(\rho)[/math]) — до вигляду:
[math]\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\[/math]

Окремі випадки

1)Випадок коли [math]\rho =const[/math] тоді [math]P=\frac{p}{\rho }+const[/math]. 2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді [math]\frac{p}{\rho }=RT=const[/math]. [math]P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const[/math] 3)

Практичне застосування

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.Гідроаеромеханіки - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої ​​рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

[math]\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}[/math]

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

[math]V_{2}=\sqrt{2gh}[/math]

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

Література

Милн-Томсон Л. М. «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964