Частотні характеристики

Реакція елемента на вхідний гармонічний сигнал пов’язана з поняттям частотних функцій.

Якщо на вхід лінійного елемента подати гармонічний вплив – синусоїдальні коливання з циклічною частотою w, амплітудою Х і початковою фазою [math]j_{1}w [/math] :

[math]X(t) = X\cdot \sin \left (\ wt + j_{1}w\right ) \[/math],

то після закінчення певного часу на виході будуть також синусоїдальні коливання, але з іншою амплітудою Y і початковою фазою [math]j_{2}w [/math] :

[math]Y(t) = U\cdot \sin \left (\ wt + j_{2}w\right ) \[/math]


При різних значеннях w відношення амплітуд K(w) вихідного Y і вхідного Х коливань а також різниця фаз [math]j(w) = j_{2}w - j_{1}w [/math] мають різні значення. Зв’язок між параметрами вхідного і вихідного коливань при різних частотах описується амплітудно-фазовою частотною функцією (АФЧХ) або комплексним коефіцієнтом передачі:

[math]W(jw) = K(w)\cdot \ \mathit{e}^ {j(w)} \[/math].

Ця функція може бути представлена у вигляді:

[math]W(jw) = A(w) + j\cdot \ B(w) \[/math],

де A(w) і B(w) – відповідно дійсна і уявна частотні функції:

[math]A(w) = K(w)\cdot \ cos j(w) \[/math];
[math]B(w) = K(w)\cdot \ sin j(w) \[/math].


При графічній побудові функції W(jw) в комплексній площині в залежності від зміни w (наприклад, від 0 до [math]\infty \[/math]) кінець вектора W(jw) описує на комплексній площині деяку криву (годограф), яка є амплітудно-фазовою характеристикою. Зі збільшенням частоти w даються взнаки інерційні властивості елемента і амплітуда вихідних сигналів зменшується при незмінній амплітуді вхідних коливань, а відставання по фазі вихідних сигналів відносно вхідних збільшується. Найбільше значення амплітуди вихідних сигналів відповідає частоті w = 0.

Амплітудно-фазова характеристика об’єднує дві характеристики – амплітудно-частотну (АЧХ) і фазо-частотну (ФЧХ).

Функція [math]K(w)=\left | \ W(jw) \right | \[/math] є аналітичним виразом АЧХ елемента. АЧХ показує зміну відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів в залежності від частоти вхідних гармонічних сигналів. Функція j(w), яка являє собою різницю фаз вхідного і вихідного коливань, є аналітичним виразом ФЧХ:

Графічну побудову функцій K(w) і j(w) часто зручно виконувати у вигляді логарифмічних частотних характеристик. Якщо прологарифмувати вираз, то отримаємо залежність:

[math]ln W(jw) = ln K(w) + j(w)\[/math],

яка складається з дійсної і уявної частин, кожну з яких можна зобразити графічно в функції логарифма частоти. Замість lnK(w) зазвичай розглядають функцію [math]L(w) = 20\cdot \ lg K(w) \[/math], графічне зображення якої в логарифмічному масштабі частот називається логарифмічною амплітудно-частотною характеристикою (ЛАЧХ); одиницею її вимірювання є децибел. Функція j(w), яка побудована в логарифмічному масштабі частот, називається логарифмічною фазо-частотною характеристикою (ЛФЧХ).


При впливі на елемент сигналу вільної форми його можна розкласти за допомогою ряду Фур’є на прості гармонічні складові і отримати результат загального впливу як суму впливів від окремих складових.

Перехідну, імпульсну і частотні (амплітудно-фазову, амплітудно-частотну, фазо-частотну) характеристики елемента можна визначити за диференціальним рівнянням елемента при відповідному вхідному впливі. Перелічені вище характеристики можна знайти експериментально, якщо рівняння елемента невідомо.За отриманими характеристиками можна, використовуючи відповідні формули, знайти вихідну величину у (t) елемента при будь-якому вхідному впливі.Якщо відомо диференціальне рівняння для перехідного процесу, то при визначенні динамічних властивостей елемента доцільно використовувати передаточну функцію.

Визначення динамічних властивостей окремих лінійних і лінеаризованих елементів і дослідження автоматичного пристрою в цілому полегшується в разі подання елементів типовими ланками, яке базується на ідентичності лінійних диференціальних рівнянь, що описують процеси в різних елементах.

Типова лінійна ланка (їй може відповідати реальний елемент або комбінація кількох елементів, а іноді частина елемента) описується диференціальним рівнянням не вище другого порядку. Така ланка володіє направленою властивістю, тобто пропускає керувальний вплив тільки в одному напрямку: від входу до виходу. Диференціальні рівняння типових лінійних ланок можна складати незалежно від інших ланок, оскільки завдяки однонаправленості дії підключення наступної ланки не чинить зворотної дії на попередню ланку. Вказана направлена дія забезпечується за умови, що вихідна потужність попередньої ланки значно більша вхідної потужності наступної ланки (тобто попередня ланка повинна працювати в режимі, який наближений до неробочого ходу). Ланка також володіє детекторними властивостями, якщо вплив навантаження скомпенсовано.

Будь-яка ланка має вхід – місце прикладення впливу на ланку, а також вихід – місце, де проявляється вплив цієї ланки на наступну. Кожна типова ланка характеризується своєю передаточною функцією. Якщо відомі ланки автоматичної системи і їх передаточні функції, то будь-яку систему можна представити як сукупність певним чином з’єднаних поміж собою типових ланок направленої дії, які замінюють реальні елементи, тобто у вигляді еквівалентної структурної схеми системи.

Для переважної більшості систем автоматичного управління розрізняють такі основні типові ланки: аперіодична, коливальна, інтегрувальна, диференціювальна, підсилювальна і ланка з постійним запізненням. Треба відзначити, що один і той же елемент або комбінація з декількох елементів може відноситись до різних типових ланок в залежності від того, які фізичні величини прийняті за вхідний х і вихідний у сигнали.