Передавальна функція

Передавальна функція - один із способів математичного опису динамічної системи. Використовується в основному в теорії керування, комунікаційних технологіях, цифровій обробці сигналів. Являє собою диференціальний оператор, що виражає зв'язок між входом і виходом лінійної стаціонарної системи. Знаючи вхідний сигнал системи й передатну функцію, можна відновити вихідний сигнал. В теорії керування передавальна функція безперервної системи являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу при нульових початкових умовах.

Лінійні стаціонарні системи

Нехай [math]u(t) \![/math] - вхідний сигнал лінійної стаціонарної системи, а [math]y(t) \![/math] - її вихідний сигнал. Тоді передавальна функція [math]W(s) \![/math] такої системи запишеться у вигляді:

[math]W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}[/math],

де [math]U(s) \![/math] та [math]Y(s) \![/math] - перетворення Лапласа сигналів [math]u(t) \![/math] та [math]y(t) \![/math] відповідно:

[math]U(s) = \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt[/math],

[math]Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt[/math].

Дискретна передавальна функція

Для дискретних та дискретно-неперервних систем вводиться поняття дискретної передавальної функції. Нехай [math]u(k) \![/math] - вхідий дискретний сигнал такої системи, а [math]y(k) \![/math] - її дискретний вихідний сигнал ([math]k = 0, 1, 2, \dots \![/math]). Тоді передавальна функція [math]W(z) \![/math] такої системи запишеться у вигляді:

[math]W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)}[/math],

де [math]U(z) \![/math] та [math]Y(z) \![/math] - z-перетворення сигналів [math]u(k) \![/math] та [math]y(k) \![/math] відповідно:

[math]U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}[/math],

[math]Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k}[/math].