Автомодельність у гідрогазодинаміці

Автомодельність у гідрогазодинаміці


Автомодельність ("собі подібний") -розподіл в просторі залежних від часу величин пов'язаних між собою деяким перетворенням масштабів вимірювання залежних і незалежних зміних.Автомодельні рішення - це ті рішення,які виходять при використані теорії розмірності


Побудова Автомодельних рішень

Метод побудови автомодельних рішень можна розглядати як узагальнення методу розділення переміних.Відомо,що якщо шукані функції просторової координати x і часу t,задовільняючі деякій системі рівнянь в частиних похідних,представляються у вигляді:


[math]F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(t)[/math] (1)

використовуючи дану формулу цю систему можна привести до відповідних систем звичайних дифференціальних рівнянь відносно x та t.

Функції [math]\Phi\[/math] і [math]\Psi\[/math] можуть мати бульш складний вигляд.Вони можуть залежити від x та t не окремо,а від їх визначенних комбінацій,тобто мати один з наступних виглядів:


[math]F(x,t)=\Phi\(\frac{x}{M(t)})\cdot\Psi(t)\ [/math], (2)


[math]F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(\frac{t}{L(x)}) [/math], (3)


[math]F(x,t)=\omega(x-Dt) , D=const [/math] (4)


Величини [math]M(t),\Phi(t),L(x)\[/math] можуть бути степенними функціями,експоненціальними функціями своїх змінних,можуть мати і більш складний вигляд.

Автомодельні рішення приводять до представлення вихідних функцій в вигляді формули (2) або (3),де величини [math]M,\Phi\,L[/math] являються степенними функціями своїх параметрів,тобто:


[math]M(t)=M_0 t^n , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Psi\(t)=\Psi_0\ t^{n_\Psi\[/math] (5)

або


[math]L(x)=L_0 x^{n_L}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Phi\(x)=\Phi_0\ x^{n_A}[/math] (6)

де [math]M_0,\Phi_0\,L(0),\Psi_0\[/math]-розмірні,а [math]n,n_\Psi\,n_L,n_A[/math]-безрозмірні постійні.


Процеси які описуються автомодельними рішеннями,зазвичай називають автомодельними процесами або автомодельними режимами.Зазвичай так говорять про автомодельний рух газів,про автомодельний режим переносу тепла в середовищі і т.д.


Загальною властивістю всі інваріантних рішеннь являється те,що в одномірному випадку вихідну задачу,сформульовану для системи рівнянь в частиних похідних,можна звести до задачі,сформульованій для відповідної системи звичайних дифференціальних рівнянь.

Умова автомодельності

Розглядаючи задачу про рух поршня в первісному нерухомому газі,отриманим при [math]t=0[/math] постійне значення плотності і тиску,тобто:

[math]\upsilon\(m,0)=0, \qquad \qquad \rho\(m,0)=\rho_0\, \qquad \qquad P(m,0)=P_0[/math] [math]\qquad \qquad[/math] (1)

При [math]t\gt 0[/math] поршень починає рухатись по степенневому закону,тобто швидкість поршня має вигляд: [math]\upsilon\(0,t)=\upsilon_0\ t^{n_1}[/math]

де [math]\upsilon_0\[/math]-розмірна, [math]n_1[/math]-безрозмірна постійна. Розмірні визначаючі параметри задачі наступні: [math]m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\[/math]

Формально до параметрів необхідно добавити ще безрозмірні постійні [math]n_1 , \gamma\[/math].

Розвязок задачі полягає в визначенні функціональних звязків виду

[math]\upsilon\ = \upsilon\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)[/math],


[math]\rho\ = \rho\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)[/math],


[math]P=P(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)[/math],


задовільняючі системі рівнянь і умові задачі.

Спершу необхідно встановити розмірності всіх величин,вибрав три основні одиниці вимірювання:довжини [math](L)[/math] ,часу [math]\tilde{T}[/math] і масси [math](M)[/math].

Розмірності параметрів наступним чином виражаються через символи основних одиниць вимірювання:


[math][m]=M L^{-2}, \qquad \qquad [t]=\tilde{T}, \qquad \qquad [\rho_0\]=M L^{-3}, [/math]

[math][P_0]=M L^{-1} \tilde{T}^{-2}, \qquad \qquad [\upsilon_0\] = L \tilde{T}^{-(n_1+1)}[/math]

З пяти параметрів три параметри мають незалежну розмірність.Наприклад розмірності параметрів [math]t,\rho_0\,\upsilon_0\[/math] незалежні,так як символ масси [math]M[/math] входить в формулу розмірності лише одного з них.Розмірності двух інших параметрів виражаються через розмірності [math]t,\rho_0\,\upsilon_0\[/math] у вигляді степеневого одночлена.Дісно представимо:

[math]m=st^\alpha\[/math] [math]\rho_0\(^\beta\)[/math] [math]\upsilon_0\(^\gamma\)[/math], [math]\qquad \qquad P_0=\theta\t^\alpha_1\ \rho_0\(^{\beta_1\) \upsilon_0\(^{\gamma_1\)[/math]

де [math]s,\theta\[/math]-безрозмірні величини.Співставивши розмірності правої і ілвої частини можна отримати

[math]\alpha\ = n_1+1,\quad \beta\ = 1,\quad \gamma\ = 1,\quad \alpha_1\ = 2n_1,\quad \beta_1\ = 1,\quad \gamma_1\ = 2 [/math]

тобто наступні безрозмірні комбінації


[math]s=\frac{m}{\rho_0\ \upsilon_0\t^{n_1+1}}[/math],


[math]\theta\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\(^2) t^{2n}}[/math]

Тепер розглянемо два окремих випадки задачі:


1) [math]n_1 = 0[/math](рух поршня з постійною швидкістю). В цьому випадку безрозмірна величина [math]\theta\[/math] являється постійною


[math]\theta\ = \theta_0\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\(^2)}[/math]


Тому всі шукані функції будуть являтися функціями однієї незалежної зміної [math]s[/math]


Це означає що рішеня задачі при [math]n_1=0[/math] буде автомодельним.При [math]n_1=0[/math] автомодельне рішеня має ту властивість що з часом міняє тільки масштаб незалежної зміної [math]m[/math].Масштаби самих шуканих функцій не міняються з часом.тобто вдоль оси ординат профілі шуканих величин не міняються.


2)[math]P_0=0[/math].В цьому випадку [math]\theta=0\[/math].Шукані функції будуть такожзалежити від однієї безрозмірної зміної [math]s[/math],тобто розвязок задачі буде автомодельним.При цьому,якщо [math]n_1\ne 0[/math] ,то з часом змінюється не тільки масштаб незалежної зміної,но і масштаби шуканих функцій швидкості і тиску.

Використання у гідрогазодинаміці

Даний метод автомодельності може використовуватись у гідрогазодинаміці для спрощеня розвязків важких задач а саме:


  • при розрахунку задач на перенос тепла


При автомодельності рішення задач було вперше відміченно існування температурних хвиль скінченої швидкості.Для рівнянь параболічного типу доказані теореми існуваня і єдиності задачі Коші крайових задач,а також теореми порівняня,які за допомогою автомодельних рішень дозволили отримати достатньо загальні понятя скінченої швидкості розповсюдження температурних хвиль.Причиною локалізації може бути так званий граничний режим із загостренням, при якому функція, задана на границі,зводиться в нескінченність в кінцевий момент часу

  • рівняня газової динаміки,описуючі ізентропічні і адіабатні течії


Ввевши так названу "ентропійну функцію"

[math] \sum = \frac{RT}{\gamma\ -1 \rho\(^{\gamma\ -1})} [/math]

рівняня енергії можна звести до вигляду

[math]\frac{d\sum}{dt}=0[/math]

Тут похідна по часу Лагранжеа,тобто дифференціювання ведетьсявдоль траекторії частин.Так як ентропія ідеального газу пропорційна [math]ln\sum[/math] ,то рівняня говорить про те,що ентропія частин не міняється з часом,тобто плив в області непреривності функціїї являється адіабатичним або - в часному випадку [math]\sum(m,t)\equiv const[/math] -ізентропічним


  • про рух поршня з постійною швидкістю


При [math]l\lt 0[/math] тиск на поршні менше тиску за фронтом ударної хвилі,а при [math]l\gt 0[/math] тиск на поршні більше тиску позаду фронту ударної хвилі. Рівняня для знаходження безрозмірної функції швидкості проінтегрувавши від [math]\tau\ = 1[/math] до [math]\tau\ = \tau\(s)[/math] отримаємо :

[math] \alpha\(s) = {\alpha_1\ \over 2} (2+I)[/math]


де [math]I=I(s,\gamma\,l) [/math]


  • про рух газа перед поршнем в загальному випадку


Аналізуючи формули для руху поршня бід дією газу можна зробити висново про ряд свойст газодинамічних величин,котрі описують течію первиного холодного газу перед поршенм при любих можливих значеннях параметра [math]\upsilon\[/math] (показник геометрії) ,параметру [math]l[/math] (показник степеневої залежності просторового розподілу початкової густини) і постійної [math]n_1[/math] (показник степеневоїзалежності швидкості поршня від часу).


  • задач про сильний вибух


Характер розподілу газодинамічних величин в області [math]0 \le \ s \le \ 1[/math] являється різним в залежності від співвідношеня між параметрами [math]l,\upsilon\,\gamma\[/math] .

Місце знаходженя взриву характерихується координатою [math]s=0[/math] .

Використана література

[math]\bullet[/math]П.П.Волосевич , Е.И.Леванов "Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса"


--Pengwin 19:42, 21 травня 2012 (UTC)