Капілярні мости
Зміст
Капілярні мости
Зазвичай, ми розуміємо термін «капілярний міст»(англ. Capillary bridge) як мінімізована поверхня рідини або мембрани, створеної між двома твердими тілами з довільною формою. Капілярні мости також можуть сформуватися між двома рідинами. Плато визначило послідовність капілярних форм, відомих як nodoid with 'neck', cathenoid, unduloid with 'neck', циліндр, Unduloid with 'haunch', сфера і Nodoid with 'haunch'. Присутність капілярного моста, залежно від їх форм, може призвести до притягання або відштовхування між твердими тілами. Найпростіші їх випадки осе симетричні. Відрізняють три важливі класи з'єднання, залежно від пов'язаних форм поверхні тіл:
- дві плоскі поверхні (Рис. 1)
- плоскою поверхнею і сферичною частинкою (рис. 2)
- двома сферичними частинками (в цілому, частинки можуть не мати рівних розмірів, (рис. 3)
Капілярні мости та їх властивості можуть також бути під впливом земної сили тяжіння і властивостей з'єднаних поверхонь. Оскільки речовина з'єднання може бути використовуваними рідинами або газами, прикладеними в границі, названої інтерфейсом (капілярна поверхня). Інтерфейс характеризується особливим поверхневим натягом.
Історія
Капілярні мости вивчалися більше 200 років. Питання було підняте вперше Джозефом Луї Лагранжом в 1760, і інтерес був далі поширений французьким астрономом і математиком К. Делонеєм. Делоней знайшов повністю новий клас в осьовому напрямку симетричних поверхонь постійного середнього викривлення. У формулюванні і доказі його теореми була довга історія. Це почалося з судження Ейлера нового числа, названого cathenoid. Набагато пізніше Кенмотсу вирішив складні нелінійні рівняння, описавши цей клас поверхонь. Однак його рішення має мало практичного значення, бо не має ніякої геометричної інтерпретації. Дж. Плето показав існування таких форм з даними кордонами. Проблему назвали на честь нього проблемою Плето. Багато вчених сприяли вирішенню проблеми. Один з них - Томас Янг. П'єр Симон Лаплас виніс поняття капілярної напруженості. Лаплас навіть сформулював широко відому у наш час, умову для механічної рівноваги між двома рідинами, розділеними на капілярну поверхню P = ΔP тобто капілярний тиск між двома фазами, є балансами їх суміжним перепадом тисків.
У минулому столітті багато зусиль було докладено для дослідження поверхневих сил, які ведуть капілярні ефекти з'єднання. Там було встановлено, що ці сили є наслідком міжмолекулярних сил і стають значними в тонких рідких проміжках (<10 нм) між двома поверхнями.
Нестабільність капілярних мостів була обговорена вперше Рейлі. Він продемонстрував, що рідка реактивна або капілярна циліндрична поверхня стала нестабільною, коли відношення між його довжиною, H до радіусу R, стає більше, ніж 2π. Пізніше, Хов сформулював варіаційні вимоги для стабільності осе симетричних капілярних поверхонь (необмежених). Він спочатку вирішив молодо-лапласовское рівняння для форм рівноваги і показав, що умова Лежандра для другої зміни завжди задовольняється. Тому стабільність визначена відсутністю негативного власного значення лінеаризоване молодо-лапласовского рівняння. Цей підхід визначення стабільності від другої зміни використовується тепер широко. Пертурбаційні методи стали дуже успішними незважаючи на ту нелінійну природу капілярного взаємодії, що може обмежити їх застосування. Інші методи тепер включають пряме моделювання. До того моменту більшість методів для визначення стабільності вимагало обчислення рівноваги як підставу для хвилювань. Там з'явився нова ідея, що стабільність може бути виведена з станів рівноваги. Судження було далі доведено Піттсом для осе симетричного постійного об'єму. У наступних роках Фогель розширив теорію. Він досліджував випадок осе симетричних капілярних мостів з постійними обсягами, і зміни стабільності, що відповідають поворотним моментам. Недавній розвиток теорії роздвоєння довів, що обмін стабільністю між поворотними моментами і точками розгалуження - загальне явище.
Заяви і випадки
Недавні дослідження вказали, що стародавні єгиптяни використовували властивості піску створювати капілярні мости, коли на ньому поміщено трохи води. Таким чином, вони зменшили поверхневе тертя і мали змогу, рухати статуї і важкі блоки піраміди. Капілярне з'єднання також широко поширене в живій природі. Жуки, мухи, коники і деревні жаби здатні, утримуватися на вертикальних грубих поверхнях через їх здатності ввести рідину перевірки в область контакту основи подушки. Багато проблем зі здоров'ям, що включають респіраторні захворювання та здоров'я суглобів, залежать від крихітних капілярних мостів. Рідкі мости тепер зазвичай використовуються в нарощуванні клітинних культур через потребу наслідувати роботі живих тканин в науковому дослідженні.
Загальні рівняння
Загальне рішення для профілю капіляра відомо з розгляду unduloid або nodoid викривлення
Давайте приймемо наступну циліндричну систему координат: z показує вісь зміни; r являє радіуси викривлення, і φ - кут між нормальним і позитивної віссю Z. У nodoid є вертикальні тангенси в r = r1 і r = r2 і горизонтальний тангенс в r = r3. Тоді, коли ϕ - кут між нормальним до інтерфейсної і позитивної осі Z тоді ϕ, одно 90 °, 0 °, -90 ° для nodoid. Таким чином, молодо-лапласовске рівняння може бути написане з урахуванням повного викривлення:
[math]\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} \right ) = \frac{d\left ( r \sin r \right )}{rdr}= const[/math] (1)
де R1, R2 є радіусами викривлення, і γ - граничне поверхневий натяг.
Інтеграцію рівняння називають першим інтегралом і для nodoid з граничними умовами:
[math]\sin \phi = \frac{\left ( r^{2}-r_{1}r_{2} \right )}{r \left ( r_{1}-r_{2} \right )}[/math] (2)
Тоді:
[math]\frac{dz}{dr}=-\tan\phi=-\frac{\sin\phi}{\sqrt{\left (1-\sin^{2}\phi \right) }}[/math] (3)
Тоді знаходимо:
[math]\frac{dz}{dr}=\frac{r_{1}r_{2}-r^{2}}{\sqrt{ \left ( r^{2}-r_{1}^{2}\right) \left( r_{2}^{2}-r^{2} \right ) }}[/math] (4)
Після інтеграції отримане рівняння називають другим інтегралом:
[math]z= \pm \left [ r_{1} F\left ( r, \phi\right )+ E\left( r, \phi\right )\right ][/math] (5)
де: F і E - овальні інтеграли першого і другого виду, [math]k^{2}=\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}[/math] і ϕ пов'язаний з r згідно: [math]\sin^{2}\phi=\frac{r_{2}^{2}-r^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}[/math]
unduloid має тільки вертикальні тангенси в r=r1 and r=r2, where ϕ = + 90. Абсолютно аналогічним способом:
[math]\frac{dz}{dr}=\frac{r_{1}r_{2}+r^{2}}{\sqrt{ \left ( r^{2}-r_{1}^{2}\right) \left( r_{2}^{2}-r^{2} \right ) }}[/math] (6)
Другий інтеграл для unduloid отриманий:
[math]z= \pm \left [ r_{1} F\left ( r, \phi\right )+ E\left( r, \phi\right )\right ][/math] (7)
Де відношення між параметрами k і ϕ визначено той же самий шлях як вище. В обмеженому випадку r1=0, і nodoid і unduloid складаються з серії сфер. Коли r1=r2. Останнім і дуже цікавим обмежуючим випадком є catenoid. Лапласовское рівняння зменшено до:
[math]\frac{d \left (r \sin r \right ) }{rdr}= 0[/math] (8)
Це інтеграція може бути представлена в дуже зручній формі, в циліндричній системі координат, названої ланцюговим рівнянням:
[math]\frac{r}{r_{1}}=\cosh \left ( \frac{r}{z_{1}} \right )[/math] (9)
Рівняння (9) важливе, тому що воно показує в деякому спрощенні всі проблеми, пов'язані з капілярними мостами.
Статика капілярних мостів між двома плоскими поверхнями
Механічну рівновагу включає баланс тиску в рідкому / газовому інтерфейсі і зовнішню силу на пластинах, ΔP, врівноважуючи капілярну притягання чи відштовхування, Py, i.e.ΔP = Py. Після знехтування ефектами сили тяжіння і іншими зовнішніми областями, баланс тиску ΔP=Pi - Pe (Індекси, «і» і «e» позначаємо відповідно внутрішні і зовнішні тиски). У разі осьової симетрії рівняння для капілярного тиску приймає форму:
[math]P_{y} = \gamma\frac{d(r\sin{\phi})}{r dr}[/math] (10)
де γ - гранична рідка / газова напруженість; r - радіальна координата, і ϕ - кут між симетрією осі і нормальний інтерфейс твірної.
Перший інтеграл легко отриманий щодо безрозмірного капілярного тиску в контакті з поверхнею:
[math]C = \frac{X\sin{\theta}-1}{X^{2}-1}[/math] (11)
де, [math]C = P_{y}\frac{r_{m}}{2\gamma}[/math], безрозмірний радіус в контакті [math]X = \frac{R}{r_{m}}[/math], і θ - кут контакту. Ставлення показує, що капілярний тиск може бути позитивним чи негативним. Формою капілярних мостів управляє рівняння:
[math]\frac{dy}{dx} = \pm \frac{ C \left ( x^{2} -1 \right ) + 1}{\sqrt{x^{2}-\left [ C \left ( x^{2} - 1 \right ) + 1 \right ]^{2}}}[/math] (12)
де рівняння отримано після того, як замінна [math]\sin\phi=\frac{dy}{dx}\cos\phi[/math] зроблена в Eq. І обчислення [math]x = \frac{r}{r_{m}}[/math] введено.
Тонкий рідкий міст
На відміну від випадків з висотою капілярних мостів яка збільшується, і викладає різноманітність форм профілю, у вирівнюванні (який тоншає) до нульової товщини, є набагато більш універсальний характер. Універсальність з'являється коли H<<R (Рис.1). Рівняння (11) може бути записане:
[math]C \left ( X = 1 - \Delta \right ) \approx -\frac{1-\sin\theta}{2\Delta}+\frac{1+\sin\theta}{4}[/math] (13)
Твірна зводиться до рівняння:
[math]\frac{dy}{dx} = \pm \frac{ 1+2C \left (x-1\right )}{\sqrt{1-\left [2 C \left ( x - 1 \right ) + 1 \right ]^{2}}}[/math] (14)
Після інтеграції рівняння отримаємо:
[math]y^{2} +\left ( x + 1 \pm \frac{1}{2C} \right ) ^{2} =\left (\frac{1}{2C} \right )^{2}[/math] (15)
Безрозмірні круглі радіуси 1 / 2C збігаються з капілярними радіусами моста викривлення. Позитивний знак '+' являє профіль, який створює увігнутий міст і негативного '-', - сплюснутий.
Стабільність капілярних мостів між двома плоскими поверхнями
Форми рівноваги і межі стабільності для капілярних рідких мостів піддаються багатьом теоретичним і експериментальним дослідженням. Дослідження головним чином сконцентровані на дослідженні мостів між, дискам при еквівалентних гравітаційних умовах. Добре відомо, що для кожного значення числа Бонда [math]Bo=\frac{\rho g R^{2}}{\gamma}[/math] (де: g - сила земного тяжіння, γ - поверхневий натяг, і R - радіус контакту), діаграма стабільності може бути представлена єдиною замкнутою кривою. обсягу гнучкості / безрозмірному обсягу площини. Гнучкість визначена як [math]\frac{H}{2R}[/math], і безрозмірний обсяг - капілярний обсяг моста, розділений на циліндричному обсязі з тією ж самою висотою, H і радіусом R :[math]\frac{V}{\pi\R^{2}H}[/math].
Посилання
1. Meseguer J. and A. Sanz, "Numerical and experimental study of the dynamics of axisymmetric liquid bridges," J. Fluid Mech. (1985)
2. Martinez and J. M. Perales, "Liquid bridge stability data," J. Cryst, Growth (1986)
3. N. A. Bezdenejnykh, J. Meseguer and J. M. Perales, Experimental analysis of stability limits of capillary liquid bridges, Phys. Fluids A (1992)
4. Vogel, Thomas I., Stability of a liquid drop trapped between two parallel planes, SIAM J. Appl. Math. (1987)
5. Vogel, Thomas I., Stability of a liquid drop trapped between two parallel planes II, SIAM J. Appl. Math. (1989)
6. Pampaloni, F., Reynaud, E.G., Stelzer, E.H.K.: The third dimension bridges the gap between cell culture and live tissue. Nature Reviews Molecular Cell Biology (2007)
