Капілярні мости

Увігнутий капілярний міст між двома плоскими поверхнями (Рис. 1)
Увігнутий капілярний міст між плоскою поверхнею і сферичною частинкою (рис. 2)
Увігнутий капілярний міст між двома сферичними частинками (рис. 3)

Капілярні мости

Зазвичай, ми розуміємо термін «капілярний міст»(англ. Capillary bridge) як мінімізована поверхня рідини або мембрани, створеної між двома твердими тілами з довільною формою. Капілярні мости також можуть сформуватися між двома рідинами. Визначається послідовність капілярних форм, відомих як нодоідной з 'шиї', катеноїд, андалоїд з 'шиї', циліндр, андалоїд з 'стегна', сфера і нодоїд з 'стегна'. Присутність капілярного моста, залежно від їх форм, може призвести до притягання або відштовхування між твердими тілами. Найпростіші їх випадки осесиметричні. Відрізняють три важливі класи з'єднання, залежно від пов'язаних форм поверхні тіл:

  • дві плоскі поверхні (Рис. 1)
  • плоскою поверхнею і сферичною частинкою (рис. 2)
  • двома сферичними частинками (в цілому, частинки можуть не мати рівних розмірів, (рис. 3)

Капілярні мости можуть також бути під впливом земного сили тяжіння, а їх властивості залежать від властивостей з'єднаних поверхонь.

Історія

Капілярні мости вивчалися більше 200 років. Питання було підняте вперше Джозефом Луї Лагранжом в 1760, і інтерес був далі поширений французьким астрономом і математиком К. Делонеєм. Делоней знайшов повністю новий клас симетричних поверхонь постійного середнього викривлення. У формулюванні і доказі його теореми була довга історія. Це почалося з пропозиції Ейлера про нову фігуру, названу катеноїдом. Набагато пізніше Кенмотсу вирішив складні нелінійні рівняння, описавши цей клас поверхонь. Однак його рішення має мало практичного значення, бо не має ніякої геометричної інтерпретації. П'єр Симон Лаплас виніс поняття капілярної напруженості. Лаплас навіть сформулював широко відому у наш час, умову для механічної рівноваги між двома рідинами, розділеними на капілярну поверхню р = Δр.

У минулому столітті багато зусиль було докладено для дослідження поверхневих сил, які ведуть капілярні ефекти з'єднання. Там було встановлено, що ці сили є наслідком міжмолекулярних сил і стають значними в тонких рідких проміжках (<10 нм) між двома поверхнями.

Нестабільність капілярних мостів була обговорена вперше Рейлі. Він продемонстрував, що рідка реактивна або капілярна циліндрична поверхня стала нестабільною, коли відношення його довжини, H до радіусу R, стає більше, ніж 2π. Пізніше, Хов сформулював варіаційні вимоги для стабільності осесиметричних капілярних поверхонь (необмежених). Він спочатку вирішив молодо-лапласовске рівняння для форм рівноваги і показав, що умова Лежандра для другої зміни завжди задовільняється. Пертурбаційні методи стали дуже успішними незважаючи на ту нелінійну природу капілярної взаємодії, що може обмежити їх застосування. Інші методи тепер включають пряме моделювання. До того моменту більшість методів для визначення стабільності вимагало обчислення рівноваги як підставу для хвилювань. Так з'явилась нова ідея, що стабільність може бути виведена з станів рівноваги. Судження було далі доведено Піттсом для осе симетричного постійного об'єму. У наступних роках Фогель розширив цю теорію. Він досліджував випадок осе симетричних капілярних мостів з постійними обсягами, і зміни стабільності, що відповідають поворотним моментам. Недавній розвиток теорії роздвоєння довів, що обмін між стабільністю поворотних точок і точок розгалуження є загальним явищем.

Заяви і випадки

Недавні дослідження показали, що стародавні єгиптяни використовували властивості піску створювати капілярні мости, коли на ньому поміщено трохи води. Таким чином, вони зменшили поверхневе тертя і мали змогу, рухати статуї і важкі блоки піраміди. Капілярне з'єднання також широко поширене в живій природі. Жуки, мухи, коники і деревні жаби здатні, утримуватися на вертикальних шорстких поверхнях, використовуючи здатність вводити змочувальну рідину в область контакту з поверхнею.

Загальні рівняння

Загальне рішення для профілю капіляра відомо з розгляду андалоїд або нодоїдної кривизни. Давайте приймемо наступну циліндричну систему координат: z показує вісь зміни; r являє радіуси викривлення, і φ - кут між нормаллю і позитивною віссю Z. У нодоїд має вертикальні тангенси в r = r1 і r = r2 і горизонтальний тангенс в r = r3. Тоді, коли ϕ - кут між нормаллю до інтерфейсної і позитивної осі Z тоді ϕ, рівним 90 °, 0 °, -90 ° для нодоїда. Таким чином, молодо-лапласовске рівняння може бути написане з урахуванням повного викривлення:
[math] \Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} \right ) = \frac{d\left ( r \sin r \right )}{rdr}= const [/math] (1)
де R1, R2 є радіусами викривлення, і γ - граничний поверхневий натяг. Інтеграцію рівняння називають першим інтегралом і для nodoid з граничними умовами:
[math] \sin \phi = \frac{\left ( r^{2}-r_{1}r_{2} \right )}{r \left ( r_{1}-r_{2} \right )} [/math] (2)
Тоді:
[math] \frac{dz}{dr}=-\tan\phi=-\frac{\sin\phi}{\sqrt{\left (1-\sin^{2}\phi \right) }} [/math] (3)
Тоді знаходимо:
[math] \frac{dz}{dr}=\frac{r_{1}r_{2}-r^{2}}{\sqrt{ \left ( r^{2}-r_{1}^{2}\right) \left( r_{2}^{2}-r^{2} \right ) }}[/math] (4)
Після інтеграції отримане рівняння називають другим інтегралом:
[math] z= \pm \left [ r_{1} F\left ( r, \phi\right )+ E\left( r, \phi\right )\right ] [/math] (5)
де: F і E - овальні інтеграли першого і другого виду, [math] k^{2}=\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} [/math] і ϕ пов'язаний з r згідно: [math]\sin^{2}\phi=\frac{r_{2}^{2}-r^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}[/math]
андалоїд має тільки вертикальні тангенси в r=r1 and r=r2, where ϕ = + 90. Абсолютно аналогічним способом:
[math] \frac{dz}{dr}=\frac{r_{1}r_{2}+r^{2}}{\sqrt{ \left ( r^{2}-r_{1}^{2}\right) \left( r_{2}^{2}-r^{2} \right ) }} [/math] (6)
Другий інтеграл для андалоїда отриманий:
[math] z= \pm \left [ r_{1} F\left ( r, \phi\right )+ E\left( r, \phi\right )\right ] [/math] (7)
Де відношення між параметрами k і ϕ визначено так само як вище. В обмеженому випадку r1=0, і нодоїд і андалоїд складаються з серії сфер. Коли r1=r2. Останнім і дуже цікавим випадком є катеноїд. Лапласове рівняння зменшено до:
[math] \frac{d \left (r \sin r \right ) }{rdr}= 0 [/math] (8)
Ця інтеграція може бути представлена в дуже зручній формі, в циліндричній системі координат, названої ланцюговим рівнянням:
[math] \frac{r}{r_{1}}=\cosh \left ( \frac{r}{z_{1}} \right )[/math] (9)
Рівняння (9) важливе, тому що воно показує в деякому спрощенні всі проблеми, пов'язані з капілярними мостами.

Статика капілярних мостів між двома плоскими поверхнями

Механічна рівновага включає баланс тиску в рідкому / газовому інтерфейсі і зовнішню силу на пластинах, Δp, врівноважуючи капілярне притягання чи відштовхування, py, i.e.Δp = py. Після знехтування ефектами сили тяжіння і іншими зовнішніми впливами, баланс тиску Δp=pi - pe (Індекси, «і» і «e» позначаємо відповідно внутрішні і зовнішні тиски). У разі осьової симетрії рівняння для капілярного тиску приймає форму:
[math] p_{y} = \gamma\frac{d(r\sin{\phi})}{r dr} [/math] (10)
де γ - гранична рідка / газова напруженість; r - радіальна координата, і ϕ - кут між симетрією осі і нормальним інтерфейсом твірної.
Перший інтеграл легко отриманий щодо безрозмірного капілярного тиску в контакті з поверхнею:
[math] C = \frac{X\sin{\theta}-1}{X^{2}-1} [/math] (11)
де, [math]C = p_{y}\frac{r_{m}}{2\gamma}[/math], безрозмірний радіус в контакті [math]X = \frac{R}{r_{m}}[/math], і θ - кут контакту. Звідси видно, що капілярний тиск може бути позитивним чи негативним. Форму капілярних мостів визначає рівняння:
[math] \frac{dy}{dx} = \pm \frac{ C \left ( x^{2} -1 \right ) + 1}{\sqrt{x^{2}-\left [ C \left ( x^{2} - 1 \right ) + 1 \right ]^{2}}}[/math] (12)
де рівняння можна отримати після підстановки [math]\sin\phi=\frac{dy}{dx}\cos\phi[/math] зробленій в рівнянні. І вводиться масштабування [math] x = \frac{r}{r_{m}}[/math].

Тонкий рідкий міст

На відміну від випадків збільшення висоти капілярних мостів, сплощення (стоншування) до нульової товщини має набагато більше універсальний характер. Універсальність з'являється коли H<<R (Рис.1). Рівняння (11) може бути записане:
[math] C \left ( X = 1 - \Delta \right ) \approx -\frac{1-\sin\theta}{2\Delta}+\frac{1+\sin\theta}{4} [/math] (13)
Твірна зводиться до рівняння:
[math] \frac{dy}{dx} = \pm \frac{ 1+2C \left (x-1\right )}{\sqrt{1-\left [2 C \left ( x - 1 \right ) + 1 \right ]^{2}}}[/math] (14)
Після інтеграції рівняння отримаємо:
[math] y^{2} +\left ( x + 1 \pm \frac{1}{2C} \right ) ^{2} =\left (\frac{1}{2C} \right )^{2} [/math] (15)
Безрозмірні круглі радіуси 1 / 2C збігаються з капілярними радіусами моста викривлення. Позитивний знак '+' являє профіль, який створює увігнутий міст і негативного '-', - сплюснутий.

Стабільність капілярних мостів між двома плоскими поверхнями

Форми рівноваги і межі стабільності для капілярних рідких мостів піддаються багатьом теоретичним і експериментальним дослідженням. Дослідження головним чином сконцентровані на дослідженні мостів між, дискам при еквівалентних гравітаційних умовах. Добре відомо, що для кожного значення числа Бонда [math]Bo=\frac{\rho g R^{2}}{\gamma} [/math] (де: g - сила земного тяжіння, γ - поверхневий натяг, і R - радіус контакту), діаграма стабільності може бути представлена єдиною замкнутою кривою. обсягу гнучкості / безрозмірному обсягу площини. Гнучкість визначена як [math]\frac{H}{2R} [/math], і безрозмірний обсяг - капілярний обсяг моста, розділений на циліндричному обсязі з тією ж самою висотою, H і радіусом R :[math]\frac{V}{\pi\R^{2}H} [/math].

Використання явища в сучасному житті

Багато медичних проблем, респіраторних захворювань і захворювань суглобів залежать від крихітних капілярних мостів. Рідкі мости в даний час широко використовуються у вирощуванні штучних клітин через необхідність імітувати роботу живих тканин в наукових дослідженнях.

Посилання

1. Meseguer J. and A. Sanz, "Numerical and experimental study of the dynamics of axisymmetric liquid bridges," J. Fluid Mech. (1985)

2. Martinez and J. M. Perales, "Liquid bridge stability data," J. Cryst, Growth (1986)

3. N. A. Bezdenejnykh, J. Meseguer and J. M. Perales, Experimental analysis of stability limits of capillary liquid bridges, Phys. Fluids A (1992)

4. Vogel, Thomas I., Stability of a liquid drop trapped between two parallel planes, SIAM J. Appl. Math. (1987)

5. Vogel, Thomas I., Stability of a liquid drop trapped between two parallel planes II, SIAM J. Appl. Math. (1989)

6. Pampaloni, F., Reynaud, E.G., Stelzer, E.H.K.: The third dimension bridges the gap between cell culture and live tissue. Nature Reviews Molecular Cell Biology (2007)