Критерій Фішера

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 10 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Критерій Фішера застосовується для перевірки рівності дисперсій двох вибірок. Його відносять до критеріїв розсіювання.

При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням критерію Стьюдента має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона вірна, то для порівняння середніх можна скористатися більш потужнім критерієм.

У регресійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей. Зокрема, він використовується в крокової регресії для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.

У дисперсійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії. Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних. Перед його застосуванням рекомендується виконати перевірку нормальності.

Опис критерію

Задані дві вибірки $x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}$.

Позначим через $\sigma_1^2$ і $\sigma_2^2$ дисперсії вибірок $x^n$ і $y^m$, $s_1^2$ и $s_2^2$ — вибіркові оцінки дисперсій $\sigma_1^2$ і $\sigma_2^2$:

$s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2$;

$s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2$,

де

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}$ — вибіркові средніх вибірок $x^n$ і $y^m$.

Додаткове припущення: вибірки $x^n$ і $y^m$ є нормальними. Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність.

Нульова гіпотеза $H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2$

Статистика критерію Фішера:

$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$

має росподіл Фішера з $n-1$ і $m-1$ степенями свободи. Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. Одже критичною областью критерия є правий хвіст розподілу Фішера, що відповідає альтернативній гіпотезі $H_1'$.

Критерій (при рівні значущості $\alpha$):

• проти альтернативи $H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2$

якщо $F\lt F_{\alpha/2}(n-1,m-1)$ або $F\gt F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)$, то нульова гіпотеза $H_0$ відкидається на користь альтернативи $H_1$.

• проти альтернативи $H_1':\; \sigma_1^2 \gt \sigma_2^2$

якщо $F\gt F_{1-\alpha}(n-1,m-1)$, то нульова гіпотеза $H_0$ відкидається на користь альтернативи $H_1'$;

де $F_{\alpha}(n-1,m-1)$ є $\alpha$-квантиль розподілу Фішера з $n-1$ і $m-1$ степенями свободи.

Література

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Дивитись. також

• Критерій Стьюдента
• Перевірка статистичних гіпотез
• Статистика (функція вибірки)
• Нормальний дисперсійний аналіз

Ссилки

• Распределение Фишера (Википедия).
• Критерий Фишера (Википедия).