Теорема Коші-Гельмгольца

Матеріал з Вікі-знання або навчання 2.0 в ТНТУ
Перейти до: навігація, пошук

З теоретичної механіки відомо, що в загальному випадку рух твердого тіла в кожен момент складається з поступального переміщення полюса і обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей полюс. Рух рідини більш складний. Кожна рідка частинка, крім поступального переміщення і обертання, зазнає ще й деформації. Для вивчення всіх складових руху розглянемо нескінченно малу рідку частинку в довільний момент часу (рис. 1). Позначимо проекції швидкості у точці М(x,y,z) – центрі частинки, прийнятому за полюс, через LaTeX: v_x(x,y,z) ; LaTeX: v_y(x,y,z); LaTeX: v_z(x,y,z). Тоді в деякій точці M1 із координатами LaTeX: (x+x_1,  y+y_1,  z+z_1) на поверхні частинки проекції швидкості можуть бути записані у вигляді


A1.gif

де LaTeX: x_1, y_1 і LaTeX: z_1 в силу малих розмірів частинки являються нескінченно малими величинами

A2.gif рис. 1 Частинка рідини у різних системах координат

Розкладемо функції швидкостей LaTeX: v_x,v_y,v_z в ряди Тейлора по степеням LaTeX: x_1, y_1, z_1 в окрузі точки М(x,y,z). Утримуючи члени до першого порядку малости включно, отримаємо

A3.gif

де для скорочення запису, замість LaTeX: v_x(x,y,z) записано LaTeX: v_x и т. д. Після нескладних перетворень можна отримати

A4.gif,

де

A5.gif

Вияснимо фізичний зміст кожного із складових в (2.4): - LaTeX: v_x, v_y і LaTeX: v_z - проекції поступальної швидкості центру рідкої частинки; - пари останніх складових(LaTeX: w_yz_1, w_zy_1 та ін.) – проекції швидкості руху частинок навколо миттєвої осі, що проходить через її центр. Такий обертовий рух частинки в гідромеханіці називають вихровим, а проекції кутової швидкості обертання LaTeX: w_x, w_y, w_z - компонентами вихoру (ротора). Із векторного аналізу і формул (2.5) випливає, що кутова швидкість

A6.gif

де rotLaTeX:  v - вихор швидкості;

- три складові, які залишились кожної із формул (2.4) пов'язані із деформацією рідкої частинки у часі. Величини LaTeX: \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z характеризують швидкості деформації розтягнення (стиску) рідкої частинки, а LaTeX: \theta_x, \theta_y, \theta_z - швидкості деформації зсуву (перекосу).

Все описане тут і становить суть теореми Коші-Гельмгольца: швидкість будь-якої рідкої частки складається з швидкості полюса, швидкості обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей полюс, а також швидкості деформаційного руху, що складається з лінійної деформації і деформації зсуву.

Особисті інструменти
реклама