Рототабельне планування

Матеріал з Вікі-знання або навчання 2.0 в ТНТУ
Перейти до: навігація, пошук
Blue check.png Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
Студент: Храплива У.В.
Викладач: Назаревич О. Б.
Термін до: 20 березня 2012

До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.


Прізвище Храплива
Ім'я Уляна
По батькові Вікторівна
Факультет ФІС
Група СНм-51
Залікова книжка СНм-11-253

Рототабельне планування

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним. Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

LaTeX: \alpha ={{2}^{n/2}}.

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: центральне композиційне рототабельне планування (ЦКРП). Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α. Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 1). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

LaTeX: {{\operatorname{N}}_{n}}  LaTeX: {{\operatorname{N}}_{\alpha }}  LaTeX: {{\operatorname{N}}_{0}}  LaTeX: \alpha  
13  1,414 
20  1,680 
16  31  2,000 
10  32  10  52  2,378 
15  64  12  91  1,828 
21  128  14  163  1,333 

Таблиця 1 – Підготовка ЦКРП другого порядку При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

LaTeX: \begin{align}
<pre> & B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\ 
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\ 
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\ 
</pre>
\end{align}

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану. За результатами експериментів обчислюють такі суми:

LaTeX: \begin{align}
<pre> & {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\ 
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\ 
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\ 
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\ 
</pre>
\end{align}


Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

LaTeX: \begin{align}
<pre> & {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\ 
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\ 
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\ 
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\ 
&  \\ 
</pre>
\end{align}

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

LaTeX: \begin{align}
<pre> & S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\ 
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\ 
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\ 
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\ 
</pre>
\end{align}

У цих формулах дисперсія відтворюваності LaTeX: S_{y}^{2} визначається за результатами дослідів у нульовій точці

LaTeX: \begin{align}
<pre> & S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\ 
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\ 
</pre>
\end{align}

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

LaTeX: S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},

якшо число ступенів вільності

LaTeX: {{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).

Приклад

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

Розв'язання. Як функції відклику прийнято LaTeX: y_1, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); LaTeX: y_2, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; LaTeX: y_3, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна. Незалежними змінними є, %: LaTeX: x_1 — вихід крупи на першій системі для дертя; LaTeX: x_2 — те ж на другій системі; LaTeX: x_3 — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх LaTeX: x_i, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

Незалежні змінні  Нижній  Основний  Верхній 
LaTeX: X_1 
5
 
10
 
15
 
LaTeX: X_2 
30
 
40
 
50
 
LaTeX: X_3 
65
 
70
 
75
 


У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ LaTeX: 2^3, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 2 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка. За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

LaTeX: \begin{align}
</p>
<pre> & {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\ 
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\ 
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\ 
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\ 
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\ 
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\ 
</pre>
<p>\end{align}

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 3. Коефіцієнти при LaTeX: z^2 на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.


  LaTeX: z_0  LaTeX: z_1  LaTeX: z_2  LaTeX: z_3  LaTeX: z_1^2  LaTeX: z_2^2  LaTeX: z_3^2  LaTeX: z_1*z_2  LaTeX: z_1*z_3  LaTeX: z_2*z_3  LaTeX: y_1c  LaTeX: y_2c  LaTeX: y_3c 
1
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
0,75
 
40,5
 
8,4
 
2
 
+
 
+
 
+
 
-
 
+
 
+
 
+
 
+
 
-
 
-
 
0,68
 
36,7
 
7,3
 
3
 
+
 
+
 
-
 
+
 
+
 
+
 
+
 
-
 
+
 
-
 
0,78
 
41,3
 
8,7
 
4
 
+
 
+
 
-
 
-
 
+
 
+
 
+
 
-
 
-
 
+
 
0,61
 
42,7
 
7,3
 
5
 
+
 
-
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
-
 
-
 
+
 
0,72
 
41,0
 
8,7
 
6
 
+
 
-
 
+
 
-
 
+
 
+
 
+
 
-
 
+
 
-
 
0,61
 
37,0
 
7,9
 
7
 
+
 
-
 
-
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
-
 
-
 
0,78
 
38,2
 
9,2
 
8
 
+
 
-
 
-
 
-
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
0,62
 
34,9
 
8,0
 
9
 
+
 
+1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,67
 
44,7
 
6,8
 
10
 
+
 
-1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,66
 
39,4
 
7,7
 
11
 
+
 
0
 
+1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,86
 
40,7
 
9,3
 
12
 
+
 
0
 
-1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,65
 
37,8
 
8,5
 
13
 
+
 
0
 
0
 
+1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0,86
 
40,7
 
9,3
 
14
 
+
 
0
 
0
 
-1,68
 
0
 
0
 
+2,83
 
0
 
0
 
0
 
0,63
 
39,3
 
7,0
 
15
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,65
 
41,6
 
6,4
 
16
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,63
 
42,7
 
6,6
 
17
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,66
 
44,5
 
6,2
 
18
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,66
 
42,9
 
6,1
 
19
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,65
 
44,5
 
6,8
 
20
 
+
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0
 
0,65
 
44,0
 
6,5
 

Таблиця 2 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку


LaTeX: {{\operatorname{y}}_{i}}  LaTeX: {{\operatorname{S}}_{b0}}  LaTeX: {{\operatorname{S}}_{b1}}  LaTeX: {{\operatorname{S}}_{b2}}  LaTeX: {{\operatorname{S}}_{b3}} 
LaTeX: y_1  0,0053  0,0035  0,0034  0,0046 
LaTeX: y_2  0,48  0,31  0,30  0,41 
LaTeX: y_3  0,13  0,8  0,8  0,11 

Таблиця 3 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП

Перелік літератури

  1. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК ст.200
Особисті інструменти
Google AdSense
реклама