Метод Девідона – Флетчера – Пауела

Blue check.png Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
Студент: Храплива У.В.
Викладач: Назаревич О. Б.
Термін до: 20 березня 2012

До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.


Прізвище Храплива
Ім'я Уляна
По батькові Вікторівна
Факультет ФІС
Група СНм-51
Залікова книжка СНм-11-253

Початковий етап

Нехай [math]$\varepsilon \succ 0$[/math] - константа для зупинки. Вибрати точку [math]${x_1}$[/math] і початково симетричну позитивно визначену матрицю [math]${D_1}$[/math]. Покласти [math]${y_1} = {x_1}$[/math], k = j = 1 і перейти до основного етапу.

Основний етап

Крок 1. Якщо [math]$\left\| {\left. {\nabla f({y_i})} \right\| \lt \varepsilon } \right.$[/math], то зупинитися; в іншому випадку [math]${d_i} = - {D_i}\nabla f({y_i})$[/math] і узяти в якості [math]${\lambda _i}$[/math] оптимальне рішення задачі мінімізації [math]$f({y_i} + \lambda {d_i})$[/math] при [math]$\lambda \ge 0$[/math]. Покласти [math]${y_{i + 1}} = {y_i} + {\lambda _i}{d_i}$[/math]. Якщо j < n, то перейти до кроку 2. Якщо j = n, то покласти [math]${y_1} = {x_{k + 1}} = {y_{n + 1}}$[/math], замінити k на k+1, покласти j=1 і повторити крок 1.
Крок 2. Побудувати [math]${D_{j + 1}}$[/math] таким чином:

[math]${D_{j + 1}} = {D_j} + {\textstyle{{{p_j}p_j^T} \over {p_j^T{p_j}}}} - {\textstyle{{{D_j}{q_j}q_j^T{D_j}} \over {q_j^T{D_j}{q_j}}}},$[/math](1)

де [math]${p_i} = {\lambda _i}{d_i},$[/math](2)

де [math]${q_i} = \nabla f({y_{i + 1}}) - \nabla f({y_i}).$[/math](3)

Замінити j на j+1 і перейти до кроку 1.

Приклад

Мінімізувати [math]${({x_1} - 2)^4} + {({x_1} - 2{x_2})^2}.$[/math]
Результати обчислень методом Девідона - Флетчера - Пауелла приведені в таблиці 1.

k [math]${x_k}$[/math]
[math]$f({x_k})$[/math]
j [math]${y_j}$[/math]
[math]$f({y_j})$[/math]
[math]$\nabla f({y_j})$[/math] [math]$\left\| {\left. {\nabla f({y_j})} \right\|} \right.$[/math] D [math]${d_j}$[/math] [math]${\lambda _j}$[/math] [math]${y_{j + 1}}$[/math]
1 (0.00,3.00)
(52.00)
1 (0.00,3.00)
(52.00)
(-44.00,24.00) 50.12 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (44.00,-24.00) 0.062 (2.70, 1.51)
2 (2.70,1.51)
(0.34)
(0.73,1.28) 1.47 [math]$\left[ 0.25|0.38\\ 0.38|0.71 \right]$[/math] (-0.67,-1.31) 0.22 (2.55,1.22)
2 (2.55,1.22)
(0.1036)
1 (2.55,1.22)
(0.1036)
(0.89,-0.44) 0.99 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.89,0.44) 0.11 (2.45,1.27)
2 (2.45,1.27)
(0.0490)
(0.18,0.36) 0.40 [math]$\left[ 0.65|0.45\\ 0.45|0.46 \right]$[/math] (-0.28,-0.25) 0.64 (2.27,1.11)
3 (2.27,1.11)
(0,008)
1 (2.27,1.11)
(0,008)
(0.18,-0.20) 0.27 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.18,0.20) 0.10 (2.25,1.13)
2 (2.25,1.13)
(0.004)
(0.04,0.04) 0.06 [math]$\left[ 0.80|0.38\\ 0.38|0.31 \right]$[/math] (-0.05,-0.03) 2.64 (2.12,1.05)
4 (2.12,1.05)
(0,0005)
1 (2.12,1.05)
(0,0005)
(0.05,-0.08) 0.09 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.05,0.08) 0.10 (2.115,1.058)
2 (2.115,1.058)
(0.0002)
(0.004,0.004) 0.006

На кожній ітерації вектор[math]${d_j}$[/math] для j=1,2 визначається у вигляді [math]$ - {D_j}\nabla f({y_j})$[/math], де [math]${D_1}$[/math] одинична матриця, а [math]${D_2}$[/math] обчислюється по формулах (1) - (3). При k = 1 маємо [math]${p_1} = {(2.7, - 1.49)^T},{q_1} = {(44.73, - 22.72)^T}$[/math]. На другій ітерації [math]${p_1} = {(-0.1, 0.05)^T},{q_1} = {(-0.7, 0.8)^T}$[/math] і, нарешті, на третій ітерації [math]${p_1} = {(-0.02, 0.02)^T},{q_1} = {(-0.14, 0.24)^T}$[/math]. Точка [math]${y_{j + 1}}$[/math] обчислюється оптимізацією уздовж напряму [math]${d_j}$[/math] при початковій точці [math]${y_j}$[/math] для j = 1, 2. Процедура зупинена в точці [math]${y_2} = {(2.115, 1.058)^T}$[/math] на четвертій ітерації оскільки норма [math]$\left\| {\left. {f({y_2})} \right\| = 0.006} \right.$[/math] досить мала. Траєкторія руху, отримана методом, показана на рисунку 1.
Рисунок 1 - Метод Девідона - Флетчера - Пауелла.

Рисунок 1.gif

Лема показує, що кожна матриця [math]${d_j}$[/math] позитивно визначена і [math]${d_j}$[/math] є напрямом спуску. Для доказу леми нам знадобиться :
Теорема 1. Нехай S - непорожня безліч в Еn, точка [math]$x \in cl$[/math] S. Конусом можливих напрямів в точці x називається безліч [math]$D = \left\{ {d:d \ne 0,x + \lambda d \right \in S$[/math]при всіх [math]$\lambda \in (0,\delta )$[/math] для деякого [math]$\delta \gt 0}$[/math].
Визначення.Нехай x і y - вектори з Еn і [math]$\left| {{x^T}y} \right|$[/math] - абсолютне значення скалярного відтворення [math]$\left {{x^T}y} \right$[/math]. Тоді виконується наступна нерівність, звана нерівністю Шварца:

[math]$\left| {{x^T}y} \right| \le \left\| x \right\|\left\| y \right\|$[/math]
.

Лема 1

Нехай [math]${y_1} \in {E_n}$[/math], а [math]${D_1}$[/math] – початкова позитивно певна симетрична матриця. Для j = 1 ..., n покладемо [math]${y_{j + 1}} = {y_j} + {\lambda _j}{d_j}$[/math], де [math]${d_j} = - D\nabla f({y_j})$[/math], а [math]${\lambda _j}$[/math] є оптимальним рішенням задачі мінімізації [math]$f({y_j} + \lambda {d_j})$[/math] при [math]$\lambda \ge 0$[/math]. Нехай, крім того, для j = 1 ..., n – 1 матриця Dj+1 визначається по формулах (1) - (3). Якщо [math]$\nabla f({y_j}) \ne 0$[/math] для j = 1 ..., n, то матриці D1 ...,Dn симетричні і позитивно визначені, так що d1 ..., dn – напрями спуску.

Доведення
Проведено доведення по індукції. При j = 1 матриця D1 симетрична і позитивно визначена по умові леми. Крім того, [math] \nabla f{({y_1})^T}{d_1} = - \nabla f{({y_1})^T}{D_1}\nabla f({y_1}) \lt 0[/math], оскільки D1 позитивно визначена. Тоді по теоремі 1 вектор d1 визначає напрям спуску. Передбачимо, що затвердження леми справедливе для деякого [math] j \le n - 1[/math], і покажемо, що воно справедливе для j+1. Нехай x – ненульовий вектор з En, тоді з (1) маємо

[math]{x^T}{D_{j + 1}}x = {x^T}{D_j}x + {\textstyle{{{{({x^T}{p_j})}^2}} \over {p_j^T{D_j}{q_j}}}}[/math](4)

Оскільки Dj – симетрична позитивно певна матриця, то існує позитивно визначена матриця [math]D_j^{1/2}[/math], така, що [math]{D_j} = D_j^{1/2}D_j^{1/2}[/math]. Нехай [math]a = D_j^{1/2}x[/math] і [math]b = D_j^{1/2}{q_j}[/math]. Тоді [math]{x^T}{D_j}x = {a^T}a,q_j^T{D_j}{q_j} = {b^T}b,{x^T}{D_j}{q_j} = {a^T}b[/math]. Підставляючи ці вирази в (4), отримуємо:

[math]{x^T}{D_{j + 1}}x = {\textstyle{{({a^T}a)({b^T}b) - {{({a^T}b)}^2}} \over {{b^T}b}}} + {\textstyle{{{{({x^T}{p_j})}^2}} \over {p_j^T{q_j}}}}[/math](5)

По нерівності Шварця маємо [math]({a^T}a)({b^T}b) \ge {({a^T}b)^2 [/math]. Так, щоб довести, що[math]{x^T}{D_{j + 1}}x \ge 0[/math], досить показати, що [math]p_j^T{q_j} \ge 0,{b^T}b \gt 0[/math]. З (2) і (3) витікає, що

[math]p_j^T{q_j} = {\lambda _j}d_j^T\left[ {\nabla f({y_{j + 1}}) - \nabla f({y_j})} \right][/math](6)
.

По припущенню [math]\nabla f({y_j}) \ne 0[/math], і Dj позитивно визначена, так що[math]\nabla f{({y_j})^T}{D_j}\nabla f({y_j}) \gt 0[/math] Крім того, dj - напрямок спуску, і [math]{\lambda _j} \gt 0[/math]. Тоді із (6) слідує, що [math]p_j^T{q_j} \gt 0[/math]. Крім того [math]{q_j} \ne 0[/math] і [math]{b^T}b = q_j^T{D_j}{q_j} \gt 0[/math]
Видно тепер, що [math]{x^T}{D_{j + 1}}x \gt 0[/math]. Взяти [math]{x^T}{D_{j + 1}}x = 0[/math]. Це можливо тільки в тому випадку якщо [math]({a^T}a)({b^T}b) = {({a^T}b)^2},p_j^Tx = 0[/math]. Видно, що [math]({a^T}a)({b^T}b) = {({a^T}b)^2}[/math] тільки при [math]a = \lambda b,D_j^{1/2}x = \lambda D_j^{1/2}{q_j}[/math]. Таким чином [math]x = \lambda {q_i}[/math]. Так як [math]x \ne 0[/math]то[math]\lambda \ne 0[/math]. Дальше, [math]0 = p_j^Tx = \lambda p_j^T{q_j}[/math]заперечує тому, що [math]p_j^T{q_j} \gt 0,\lambda \ne 0[/math].
Отже, [math]{x^T}{D_{j + 1}}x \gt 0[/math], матриця [math]{D_{j + 1}}[/math] позитивно визначена.
Оскільки [math]\nabla f({y_{j + 1}}) \ne 0[/math] і Dj+1 позитивно визначена, маємо [math]\nabla f{({y_{j + 1}})^T}{d_{j + 1}} = - \nabla f{({y_{j + 1}})^T}{D_{j + 1}}\nabla f({y_{j + 1}}) \lt 0[/math]. Звідси по теоремі 1 слідує, що dj+1 - напрямок спуску.
Лема доведена!!!

Список використаної літератури

1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М., 1982
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., 1975