Критерій узгодженості Стьюдента

Матеріал з Вікі-знання або навчання 2.0 в ТНТУ
Перейти до: навігація, пошук

Критерій узгодженості Стьюдента - статистичний критерій згоди, заснований на порівнянні з розподілом Стьюдента (t-розподілом). Розроблений англійським хіміком-харчовиком Вільямом Госсетом (псевдонім — Стьюдент). Для практичного вивчення робочих процесів закон нормального розподілу часто не підходить, хоча існують підстави вважати, що змінна розподілена нормально. Це пов'язано з тим, що як аргумент до нормального розподілу входять математичне сподівання LaTeX: M та СКВ LaTeX: \sigma, які звичайно залишаються невідомими, тому його замінюють розподілом Стьюдента, який застосовується для нормально розподіленої послідовності.

Зміст

Закон розподілу

LaTeX: t=\frac{x_0}{\sqrt{{m^{-1}}*{\left (x_1^2+x_2^2+...+x_m^2 \right)}} ,

де LaTeX: x_0,x_1,...,x_m - взаємно незалежні нормально розподілені випадкові величини з LaTeX: M=0 і довільними дисперсіями LaTeX: D.

Закон Стьюдента свідчить, що LaTeX: p(t) залежить від числа ступенів вільності LaTeX: f=N-1 та величини LaTeX: S. Критерій LaTeX: t може набувати різних форм, а LaTeX: t-розподіл лежить в основі теорії малих вибірок, яка відіграла значну роль в плануванні експериментів.

Криві розподілу

Криві розподілу

Максимуми частоти нормального та LaTeX: t-розподілів лежать при одному й тому ж значенні абсциси. Проте на відміну від нормального розподілу висота і ширина кривих нормованого LaTeX: t-розподілу залежать від числа ступенів вільності LaTeX: f відповідного СКВ. Чим менше LaTeX: f, тим більш похилий хід має крива при одному й тому ж значенні LaTeX: S. При LaTeX: f \to \ \infty LaTeX: t-розподіл переходить у нормальний розподіл. Відповідно до цього для ходу кривої, який залежить від LaTeX: f, межі інтегрування LaTeX: p при заданій надійній імовірності LaTeX: \gamma все більше віддаляються від середнього значення зі зменшенням числа ступенів вільності LaTeX: f. Так, для LaTeX: \gamma = 0,95 виміряні значення не лежать в області LaTeX: x ± 25. Цей інтервал стає тим ширшим, чим менше вимірювань було проведено.

Застосування

Як свідчить структура відношення Стьюдента, LaTeX: t-розподіл використовується при розв'язанні першої групи задач(задачі порівняння середнього значення виміряного ряду змінних із заданими значеннями або з середнім іншого ряду), проте його також застосовують при виявленні грубих помилок та ін.

Порівняння із заданим значенням

Нульова гіпотеза LaTeX: H_0:\; \bar x = \mu (вибіркове середнє рівне заданому числу LaTeX: \mu).

Критерій (при рівні значимості LaTeX: \alpha):

  • проти альтернативи LaTeX: H_1:\; \bar x \neq \mu
якщо LaTeX:  |t| > t_{\alpha/2}, то нульова гіпотеза відхиляється;
  • проти альтернативи LaTeX: H'_1:\; \bar x < \mu
якщо LaTeX:  t < t_{\alpha} , то нульова гіпотеза відхиляється;
  • проти альтернативи H_1:\; \bar x > \mu
якщо LaTeX:  t > t_{1-\alpha} , то нульова гіпотеза відхиляється;

де LaTeX:  t_{\alpha} є LaTeX: \alpha-квантилем розподілу Стьюдента з m-1 ступенями свободи.

Особисті інструменти
Google AdSense
реклама