Рух твердого тіла в рідині

Одним із найважливіших завдань аеро- і гідродинаміки є дослідження руху твердих тіл в газах і рідинах, зокрема вивчення тих сил, з якими середовище діє на рухоме тіло. Ця проблема набула особливо великого значення у зв'язку з бурхливим розвитком авіації і збільшенням швидкості руху морських суден.

Рух тіла у нев’язкій рідині

При русі твердого тіла в нев'язкій рідині на нього діють гідродинамічні сили тиску. Нехай тверде тіло рухається з постійною швидкістю [math]\vec v_0[/math] в нев'язкій безмежній рідині. Щоб спростити рішення задачі, слід використати принцип обернення руху. Тоді тіло буде представлятися нерухомим, а рідина - натікаючою на нього зі швидкістю [math]\vec v_0[/math]. У кожній точці потоку швидкість з часом змінюватися вже не буде, тобто рух рідини стане сталим (рис. 3.10). У силу умови плавного обтікання поверхнею тіла є поверхня потоку, що складається із сукупності ліній потоку, до кожної з яких можна застосувати інтеграл Бернуллі. Оскільки розглядаємо безмежну рідину, гідростатичним тиском цікавитися не будемо і розглянемо розподіл надлишкового тиску по відношенню до гідростатичного.

Тоді для точки, розміщеної далеко перед тілом, де на потік не впливає присутність тіла, швидкість рівна [math]\vec v_0[/math], а тиск – <[math]p_{0}[/math], а для точки на поверхні тіла, дешвидкість рівна [math]\vec v_1[/math], а тиск – [math]p_{1}[/math] маємо:

[math]p_{0}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}=p_{1}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{1}^{2}[/math]

Звідси тиск в довільній точці поверхні тіла (3.10):

[math]p_{1}=p_{0}+\left ( 1-\frac{\nu _{1}^{2}}{\upsilon _{0}^{2}} \right )\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2}[/math]; або [math]p_{1}-p_{0}=c_{p} \frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2}[/math]

Величину [math]\rho \upsilon _{0}^{2}/2[/math] називають швидкісним напором

Величина [math]c_{p}[/math] називають коефіцієнтом тиску. Зручність використання цього коефіцієнта полягає в тому, що він не залежить від виду рідини, а отже, епюра [math]c_{p}[/math] визначається лише формою тіла. Це значить, що її можна отримати, моделюючи, обтікання тіла водою обтіканням його повітряним потоком в аеродинамічній трубі, що зазвичай технічно простіше і точніше.

У в’язкій рідині до сили тиску додаються сили, які обумовлені дотичними напруженнями, які можна представити у вигляді:

[math]\vec{\tau }=\tau _{0}\vec{\l}[/math] ,

де [math]\vec{l}[/math]– вектор дотичної до елементарної площі [math]dS[/math] на поверхні тіла. Тоді головний вектор гідродинамічних сил, які діють на поверхню [math]S[/math] тіла, яке рухається у в’язкій рідині:

[math]\vec{R}=-\int_{S}p\vec{n} dS+\int_{S}\tau _{0}\vec{l}dS[/math]

Розподіл тиску по поверхні тіла зручно виражати через безрозмірний коефіцієнт тиску і швидкісний напір [math]\rho \upsilon _{0}^{2}/2[/math] відповідно до рівняння (3.10). Вводиться поняття коефіцієнта місцевого тертя

[math]c_{\tau }=\frac{\tau _{0}}{\rho \upsilon _{0}^{2}/2}[/math] ,

який також є безрозмірною величиною. Позначивши через [math]S_{0}[/math] деяку характерну площу, формулу (3.19) можна записати у вигляді:

[math]\vec{R}=\frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2}S_{0}\left ( -\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}} \right )[/math] ,

де множник [math]\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}S_{0}[/math] має розмірність сили, а безрозмірний векторний вираз в дужках називається коефіцієнтом гідродинамічної сили:

[math]\vec{c}_{R}=-\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}}=\vec{c}_{Rp}+\vec{c}_{R\tau }[/math]

де [math]\vec{c}_{Rp}[/math] – коефіцієнт тиску, [math]\vec{c}_{R\tau }[/math] – коефіцієнт тертя.

В результаті структурний вираз для гідродинамічної сили, яка діє на тіло запишемо у вигляді:

[math]\vec{R}=\vec{c}_{R}\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2}S_{0}[/math]

де [math]\vec{c}_{M}[/math] – коефіцієнт моменту, [math]L[/math] – характерний лінійний розмір.

В більшості випадків гідродинамічний розрахунок або експеримент зводится до визначення безрозмірних коефіцієнтів [math]\vec{c}_{R}[/math] i [math]\vec{c}_{M}[/math]

Несталі руху тіл в рідині. Узагальнені приєднані маси

При несталих рухах тіла змінюється кінетична енергія рідини за рахунок зміни швидкостей рідких частинок, викликаних рухом тіла. Кінетична енергія елементарної рідкої частинки об’ємом [math]dV[/math]

[math]dT=\left ( \rho \upsilon ^{2}/2 \right )dV[/math]

де [math]\upsilon[/math] – швидкість частинки. У випадку безвихрового руху ідеальної рідини швидкість визначається через потенціал швидкості. Для всієї маси рідини, яка оточує тіло, кінетична енергія:

[math]T=\int_{V}\frac{\rho \upsilon ^{2}}{2}dV[/math]

Якщо рідина безмежна, то [math]V \to \propto[/math] , але [math]T[/math] залишається кінцевою величиною, оскільки по мірі віддалення від тіла рух сповільнюється, а швидкості рідких частинок прямують до нуля.

Можна розглянути частинний випадок прямолінійного несталого руху тіла. Нехай [math]\upsilon _{0}\left ( t \right )[/math] – швидкість тіла. Кінетична енергія представиться у вигляді:

[math]T=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}\int_{V}\rho \left ( \frac{\upsilon }{\upsilon _{0}} \right )^{2}dV=\lambda _{0}\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}[/math];

де

[math]\lambda _{0}=\int_{V}\rho\left ( \upsilon /\upsilon _{0} \right )^{2}dV[/math].

Величина [math]\lambda _{0}[/math] має розмірність маси, і вона, в силу скінченності [math]T[/math], скінченна, якщо навіть [math]V \to \propto[/math]. Таким чином, кінетична енергія всієї рідини, що оточує тіло, може бути представлена як кінетична енергія деякого кінцевого об'єму рідини, що має масу [math]\lambda _{0}[/math] і рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру маси тіла.

Знаючи кінетичну енергію, можна визначити силу, що діє на тіло з боку рідини. Позначимо її [math]R_{u}[/math]. З курсу теоретичної механіки відомо, що зміна кінетичної енергії рідини дорівнює роботі сили, що діє на рідину з боку тіла на розглядуваній ділянці шляху: [math]dT=-R_{u}ds[/math], Де [math]ds[/math] - елемент шляху, пройденого тілом.

Таким чином [math]R_{u}=-\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}=-\frac{1}{\upsilon _{0}}\frac{dT}{dt}[/math]

або з урахуванням формули (3.20)

[math]R_{u}=-\frac{1}{\upsilon _{0}} \cdot 2\left ( \frac{\upsilon _{0}\lambda _{0}}{2} \right )\frac{d\upsilon _{0}}{dt}=-\lambda _{0}\frac{d\upsilon _{0}}{dt}[/math]

Отже, при несталому русі тіла в нев'язкій рідині на нього діє гідродинамічна сила інерції, пропорційна прискоренню тіла. При русі тіла з постійною швидкістю [math]d\upsilon _{0}/dt=0[/math] і інерційна сила відсутня.

Якщо тверде тіло, що має масу [math]m[/math], під дією деякої зовнішньої сили [math]\vec{R}_{zovn}[/math] (наприклад, тяги гвинта) рухається з прискоренням [math]d\vec{\upsilon }_{0}/dt[/math] у порожнечі, то рівняння його руху має вигляд

[math]m\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn[/math]

При русі тіла в рідині на нього діє додаткова гідродинамічна сила (3.21). Тоді рівняння руху тіла

[math]\left ( m+\lambda _{0} \right )\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn}[/math]

Значить, в рівнянні несталого руху тіла в рідині для обліку реакції рідкого середовища необхідно масу тіла збільшити на додаткову масу, яку називають приєднаною масою рідини. Не слід розуміти цю масу буквально як масу рідини, яка рухається разом з тілом. Це характеристика інерції рідини, оточуючої тіло, при його русі із змінною швидкістю. Ми розглянули найпростіший випадок несталого руху тіла - поступального в певному напрямку. При інших більш складних видах руху тіл (поступальний в різних напрямках, обертальні, їх комбінації) гідродинамічні реакції інерційної природи характеризуються узагальненими приєднаними масами - не тільки масами, але і статичними моментами і моментами інерції цих мас. У загальному випадку несталого руху тіла з шістьма ступенями свободи існує 36 узагальнених приєднаних мас. При русі тіла в безмежній рідині вони залежать тільки від форми тіла та напрямку руху, а при русі по або поблизу вільної по- верхности рідини ще й від параметрів хвиль, викликаних рухом тіла (Зокрема, від їх частоти) / 10, 14, 15 /.