Відмінності між версіями «Рух твердого тіла в рідині»
Наталя (обговорення • внесок) |
Наталя (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
Одним із найважливіших завдань аеро- і гідродинаміки є дослідження руху твердих тіл в газах і рідинах, зокрема вивчення тих сил, з якими середовище діє на рухоме тіло. Ця проблема набула особливо великого значення у зв'язку з бурхливим розвитком авіації і збільшенням швидкості руху морських суден. | Одним із найважливіших завдань аеро- і гідродинаміки є дослідження руху твердих тіл в газах і рідинах, зокрема вивчення тих сил, з якими середовище діє на рухоме тіло. Ця проблема набула особливо великого значення у зв'язку з бурхливим розвитком авіації і збільшенням швидкості руху морських суден. | ||
| − | + | == Рух тіла у нев’язкій рідині == | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
При русі твердого тіла в нев'язкій рідині на нього діють гідродинамічні сили тиску. | При русі твердого тіла в нев'язкій рідині на нього діють гідродинамічні сили тиску. | ||
Нехай тверде тіло рухається з постійною швидкістю <math>\vec v_0</math> в нев'язкій | Нехай тверде тіло рухається з постійною швидкістю <math>\vec v_0</math> в нев'язкій | ||
| Рядок 17: | Рядок 12: | ||
| − | Тоді для точки, розміщеної далеко перед тілом, де на потік не впливає присутність тіла, швидкість рівна <math>\vec v_0</math>, а тиск – <math> | + | Тоді для точки, розміщеної далеко перед тілом, де на потік не впливає присутність тіла, швидкість рівна <math>\vec v_0</math>, а тиск – <<math>p_{0} </math>, а для точки на поверхні тіла, дешвидкість рівна <math>\vec v_1</math>, а тиск – <math>p_{1} </math> маємо: |
| − | <math> | + | <math>p_{0}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}=p_{1}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{1}^{2} </math> |
Звідси тиск в довільній точці поверхні тіла (3.10): | Звідси тиск в довільній точці поверхні тіла (3.10): | ||
| − | Величину | + | <math>p_{1}=p_{0}+\left ( 1-\frac{\nu _{1}^{2}}{\upsilon _{0}^{2}} \right )\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2} </math>; або <math>p_{1}-p_{0}=c_{p} \frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2} </math> |
| − | Величина | + | |
| + | Величину <math>\rho \upsilon _{0}^{2}/2 </math> називають швидкісним напором | ||
| + | |||
| + | Величина <math>c_{p} </math> називають коефіцієнтом тиску. Зручність використання цього коефіцієнта полягає в тому, що він не залежить від виду рідини, а отже, епюра <math>c_{p} </math> визначається лише формою тіла. Це значить, що її можна отримати, моделюючи, обтікання тіла водою обтіканням його повітряним потоком в аеродинамічній трубі, що зазвичай технічно простіше і точніше. | ||
| + | |||
| + | У в’язкій рідині до сили тиску додаються сили, які обумовлені дотичними напруженнями, які можна представити у вигляді: | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{\tau }=\tau _{0}\vec{\l}</math> , | ||
| + | |||
| + | де <math>\vec{l} </math>– вектор дотичної до елементарної площі <math>dS </math> на поверхні тіла. Тоді головний вектор гідродинамічних сил, які діють на поверхню <math>S </math> тіла, яке рухається у в’язкій рідині: | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{R}=-\int_{S}p\vec{n} dS+\int_{S}\tau _{0}\vec{l}dS </math> | ||
| + | |||
| + | Розподіл тиску по поверхні тіла зручно виражати через безрозмірний коефіцієнт тиску і швидкісний напір <math>\rho \upsilon _{0}^{2}/2 </math> відповідно до рівняння (3.10). Вводиться поняття коефіцієнта місцевого тертя | ||
| + | |||
| + | <math>c_{\tau }=\frac{\tau _{0}}{\rho \upsilon _{0}^{2}/2}</math> , | ||
| + | |||
| + | який також є безрозмірною величиною. Позначивши через <math>S_{0} </math> деяку характерну площу, формулу (3.19) можна записати у вигляді: | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{R}=\frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2}S_{0}\left ( -\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}} \right ) </math> , | ||
| + | |||
| + | де множник <math>\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}S_{0} </math> має розмірність сили, а безрозмірний векторний вираз в дужках називається коефіцієнтом гідродинамічної сили: | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{c}_{R}=-\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}}=\vec{c}_{Rp}+\vec{c}_{R\tau } </math> | ||
| + | |||
| + | де <math>\vec{c}_{Rp} </math> – коефіцієнт тиску, <math>\vec{c}_{R\tau } </math> – коефіцієнт тертя. | ||
| + | |||
| + | В результаті структурний вираз для гідродинамічної сили, яка діє на тіло запишемо у вигляді: | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{R}=\vec{c}_{R}\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2}S_{0}</math> | ||
| + | |||
| + | де <math>\vec{c}_{M} </math> – коефіцієнт моменту, <math>L </math> – характерний лінійний розмір. | ||
| + | |||
| + | В більшості випадків гідродинамічний розрахунок або експеримент зводится до визначення безрозмірних коефіцієнтів <math>\vec{c}_{R} </math> i <math>\vec{c}_{M} </math> | ||
| + | |||
| + | == Несталі руху тіл в рідині. Узагальнені приєднані маси == | ||
| + | При несталих рухах тіла змінюється кінетична енергія рідини за рахунок зміни швидкостей рідких частинок, викликаних рухом тіла. Кінетична енергія елементарної рідкої частинки об’ємом <math>dV </math> | ||
| + | |||
| + | <math>dT=\left ( \rho \upsilon ^{2}/2 \right )dV </math> | ||
| + | |||
| + | де <math>\upsilon </math> – швидкість частинки. У випадку безвихрового руху ідеальної рідини швидкість визначається через потенціал швидкості. Для всієї маси рідини, яка оточує тіло, кінетична енергія: | ||
| + | |||
| + | <math>T=\int_{V}\frac{\rho \upsilon ^{2}}{2}dV </math> | ||
| + | |||
| + | Якщо рідина безмежна, то <math>V \to \propto </math> , але <math>T </math> залишається кінцевою величиною, оскільки по мірі віддалення від тіла рух сповільнюється, а швидкості рідких частинок прямують до нуля. | ||
| + | |||
| + | Можна розглянути частинний випадок прямолінійного несталого руху тіла. Нехай <math>\upsilon _{0}\left ( t \right ) </math> – швидкість тіла. Кінетична енергія представиться у вигляді: | ||
| + | |||
| + | <math>T=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}\int_{V}\rho \left ( \frac{\upsilon }{\upsilon _{0}} \right )^{2}dV=\lambda _{0}\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2} | ||
| + | </math>; | ||
| + | |||
| + | де | ||
| + | |||
| + | <math>\lambda _{0}=\int_{V}\rho\left ( \upsilon /\upsilon _{0} \right )^{2}dV </math>. | ||
| + | |||
| + | Величина <math>\lambda _{0} </math> має розмірність маси, і вона, в силу скінченності <math>T </math>, скінченна, якщо навіть <math>V \to \propto </math>. Таким чином, кінетична енергія всієї рідини, що оточує тіло, може бути представлена як кінетична енергія деякого кінцевого об'єму рідини, що має масу <math>\lambda _{0} </math> і рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру маси тіла. | ||
| + | |||
| + | Знаючи кінетичну енергію, можна визначити силу, що діє на тіло з боку рідини. Позначимо її <math>R_{u} </math>. З курсу теоретичної механіки відомо, що зміна кінетичної енергії рідини дорівнює роботі сили, що діє на рідину з боку тіла на розглядуваній ділянці шляху: <math>dT=-R_{u}ds </math>, Де <math>ds </math> - елемент шляху, пройденого тілом. | ||
| + | |||
| + | Таким чином <math>R_{u}=-\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}=-\frac{1}{\upsilon _{0}}\frac{dT}{dt}</math> | ||
| + | |||
| + | або з урахуванням формули (3.20) | ||
| + | |||
| + | <math>R_{u}=-\frac{1}{\upsilon _{0}} \cdot 2\left ( \frac{\upsilon _{0}\lambda _{0}}{2} \right )\frac{d\upsilon _{0}}{dt}=-\lambda _{0}\frac{d\upsilon _{0}}{dt} </math> | ||
| + | |||
| + | Отже, при несталому русі тіла в нев'язкій рідині на нього діє гідродинамічна сила інерції, пропорційна прискоренню тіла. При русі тіла з постійною швидкістю <math>d\upsilon _{0}/dt=0 </math> і інерційна сила відсутня. | ||
| + | |||
| + | Якщо тверде тіло, що має масу <math>m </math>, під дією деякої зовнішньої сили <math>\vec{R}_{zovn} </math> (наприклад, тяги гвинта) рухається з прискоренням <math>d\vec{\upsilon }_{0}/dt </math> у порожнечі, то рівняння його руху має вигляд | ||
| + | |||
| + | <math>m\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn</math> | ||
| + | |||
| + | При русі тіла в рідині на нього діє додаткова гідродинамічна сила (3.21). Тоді рівняння руху тіла | ||
| + | |||
| + | <math>\left ( m+\lambda _{0} \right )\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn} </math> | ||
| + | |||
| + | Значить, в рівнянні несталого руху тіла в рідині для обліку реакції рідкого середовища необхідно масу тіла збільшити на додаткову масу, яку називають приєднаною масою рідини. Не слід розуміти цю масу буквально як масу рідини, яка рухається разом з тілом. Це характеристика інерції рідини, оточуючої тіло, при його русі із змінною швидкістю. Ми розглянули найпростіший випадок несталого руху тіла - поступального в певному напрямку. При інших більш складних видах руху тіл (поступальний в різних напрямках, обертальні, їх комбінації) гідродинамічні реакції інерційної природи характеризуються узагальненими приєднаними масами - не тільки масами, але і статичними моментами і моментами інерції цих мас. У загальному випадку несталого руху тіла з шістьма ступенями свободи існує 36 узагальнених приєднаних мас. При русі тіла в безмежній рідині вони залежать тільки від форми тіла та напрямку руху, а при русі по або поблизу вільної по- верхности рідини ще й від параметрів хвиль, викликаних рухом тіла (Зокрема, від їх частоти) / 10, 14, 15 /. | ||
Версія за 21:29, 12 червня 2013
Одним із найважливіших завдань аеро- і гідродинаміки є дослідження руху твердих тіл в газах і рідинах, зокрема вивчення тих сил, з якими середовище діє на рухоме тіло. Ця проблема набула особливо великого значення у зв'язку з бурхливим розвитком авіації і збільшенням швидкості руху морських суден.
Рух тіла у нев’язкій рідині
При русі твердого тіла в нев'язкій рідині на нього діють гідродинамічні сили тиску. Нехай тверде тіло рухається з постійною швидкістю [math]\vec v_0[/math] в нев'язкій безмежній рідині. Щоб спростити рішення задачі, слід використати принцип обернення руху. Тоді тіло буде представлятися нерухомим, а рідина - натікаючою на нього зі швидкістю [math]\vec v_0[/math]. У кожній точці потоку швидкість з часом змінюватися вже не буде, тобто рух рідини стане сталим (рис. 3.10). У силу умови плавного обтікання поверхнею тіла є поверхня потоку, що складається із сукупності ліній потоку, до кожної з яких можна застосувати інтеграл Бернуллі. Оскільки розглядаємо безмежну рідину, гідростатичним тиском цікавитися не будемо і розглянемо розподіл надлишкового тиску по відношенню до гідростатичного.
Тоді для точки, розміщеної далеко перед тілом, де на потік не впливає присутність тіла, швидкість рівна [math]\vec v_0[/math], а тиск – <[math]p_{0}[/math], а для точки на поверхні тіла, дешвидкість рівна [math]\vec v_1[/math], а тиск – [math]p_{1}[/math] маємо:
[math]p_{0}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}=p_{1}+\frac{1}{2}\rho \upsilon _{1}^{2}[/math]
Звідси тиск в довільній точці поверхні тіла (3.10):
[math]p_{1}=p_{0}+\left ( 1-\frac{\nu _{1}^{2}}{\upsilon _{0}^{2}} \right )\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2}[/math]; або [math]p_{1}-p_{0}=c_{p} \frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2}[/math]
Величину [math]\rho \upsilon _{0}^{2}/2[/math] називають швидкісним напором
Величина [math]c_{p}[/math] називають коефіцієнтом тиску. Зручність використання цього коефіцієнта полягає в тому, що він не залежить від виду рідини, а отже, епюра [math]c_{p}[/math] визначається лише формою тіла. Це значить, що її можна отримати, моделюючи, обтікання тіла водою обтіканням його повітряним потоком в аеродинамічній трубі, що зазвичай технічно простіше і точніше.
У в’язкій рідині до сили тиску додаються сили, які обумовлені дотичними напруженнями, які можна представити у вигляді:
[math]\vec{\tau }=\tau _{0}\vec{\l}[/math] ,
де [math]\vec{l}[/math]– вектор дотичної до елементарної площі [math]dS[/math] на поверхні тіла. Тоді головний вектор гідродинамічних сил, які діють на поверхню [math]S[/math] тіла, яке рухається у в’язкій рідині:
[math]\vec{R}=-\int_{S}p\vec{n} dS+\int_{S}\tau _{0}\vec{l}dS[/math]
Розподіл тиску по поверхні тіла зручно виражати через безрозмірний коефіцієнт тиску і швидкісний напір [math]\rho \upsilon _{0}^{2}/2[/math] відповідно до рівняння (3.10). Вводиться поняття коефіцієнта місцевого тертя
[math]c_{\tau }=\frac{\tau _{0}}{\rho \upsilon _{0}^{2}/2}[/math] ,
який також є безрозмірною величиною. Позначивши через [math]S_{0}[/math] деяку характерну площу, формулу (3.19) можна записати у вигляді:
[math]\vec{R}=\frac{\rho \upsilon_{0}^{2}}{2}S_{0}\left ( -\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}} \right )[/math] ,
де множник [math]\frac{1}{2}\rho \upsilon _{0}^{2}S_{0}[/math] має розмірність сили, а безрозмірний векторний вираз в дужках називається коефіцієнтом гідродинамічної сили:
[math]\vec{c}_{R}=-\int_{S} c_{p}\vec{n}\frac{dS}{S_{0}} +\int_{S} c_{\tau }\vec{l} \frac{dS}{S_{0}}=\vec{c}_{Rp}+\vec{c}_{R\tau }[/math]
де [math]\vec{c}_{Rp}[/math] – коефіцієнт тиску, [math]\vec{c}_{R\tau }[/math] – коефіцієнт тертя.
В результаті структурний вираз для гідродинамічної сили, яка діє на тіло запишемо у вигляді:
[math]\vec{R}=\vec{c}_{R}\frac{\rho \upsilon _{0}^{2}}{2}S_{0}[/math]
де [math]\vec{c}_{M}[/math] – коефіцієнт моменту, [math]L[/math] – характерний лінійний розмір.
В більшості випадків гідродинамічний розрахунок або експеримент зводится до визначення безрозмірних коефіцієнтів [math]\vec{c}_{R}[/math] i [math]\vec{c}_{M}[/math]
Несталі руху тіл в рідині. Узагальнені приєднані маси
При несталих рухах тіла змінюється кінетична енергія рідини за рахунок зміни швидкостей рідких частинок, викликаних рухом тіла. Кінетична енергія елементарної рідкої частинки об’ємом [math]dV[/math]
[math]dT=\left ( \rho \upsilon ^{2}/2 \right )dV[/math]
де [math]\upsilon[/math] – швидкість частинки. У випадку безвихрового руху ідеальної рідини швидкість визначається через потенціал швидкості. Для всієї маси рідини, яка оточує тіло, кінетична енергія:
[math]T=\int_{V}\frac{\rho \upsilon ^{2}}{2}dV[/math]
Якщо рідина безмежна, то [math]V \to \propto[/math] , але [math]T[/math] залишається кінцевою величиною, оскільки по мірі віддалення від тіла рух сповільнюється, а швидкості рідких частинок прямують до нуля.
Можна розглянути частинний випадок прямолінійного несталого руху тіла. Нехай [math]\upsilon _{0}\left ( t \right )[/math] – швидкість тіла. Кінетична енергія представиться у вигляді:
[math]T=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}\int_{V}\rho \left ( \frac{\upsilon }{\upsilon _{0}} \right )^{2}dV=\lambda _{0}\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}[/math];
де
[math]\lambda _{0}=\int_{V}\rho\left ( \upsilon /\upsilon _{0} \right )^{2}dV[/math].
Величина [math]\lambda _{0}[/math] має розмірність маси, і вона, в силу скінченності [math]T[/math], скінченна, якщо навіть [math]V \to \propto[/math]. Таким чином, кінетична енергія всієї рідини, що оточує тіло, може бути представлена як кінетична енергія деякого кінцевого об'єму рідини, що має масу [math]\lambda _{0}[/math] і рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру маси тіла.
Знаючи кінетичну енергію, можна визначити силу, що діє на тіло з боку рідини. Позначимо її [math]R_{u}[/math]. З курсу теоретичної механіки відомо, що зміна кінетичної енергії рідини дорівнює роботі сили, що діє на рідину з боку тіла на розглядуваній ділянці шляху: [math]dT=-R_{u}ds[/math], Де [math]ds[/math] - елемент шляху, пройденого тілом.
Таким чином [math]R_{u}=-\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}=-\frac{1}{\upsilon _{0}}\frac{dT}{dt}[/math]
або з урахуванням формули (3.20)
[math]R_{u}=-\frac{1}{\upsilon _{0}} \cdot 2\left ( \frac{\upsilon _{0}\lambda _{0}}{2} \right )\frac{d\upsilon _{0}}{dt}=-\lambda _{0}\frac{d\upsilon _{0}}{dt}[/math]
Отже, при несталому русі тіла в нев'язкій рідині на нього діє гідродинамічна сила інерції, пропорційна прискоренню тіла. При русі тіла з постійною швидкістю [math]d\upsilon _{0}/dt=0[/math] і інерційна сила відсутня.
Якщо тверде тіло, що має масу [math]m[/math], під дією деякої зовнішньої сили [math]\vec{R}_{zovn}[/math] (наприклад, тяги гвинта) рухається з прискоренням [math]d\vec{\upsilon }_{0}/dt[/math] у порожнечі, то рівняння його руху має вигляд
[math]m\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn[/math]
При русі тіла в рідині на нього діє додаткова гідродинамічна сила (3.21). Тоді рівняння руху тіла
[math]\left ( m+\lambda _{0} \right )\frac{d\vec{\upsilon }_{0}}{dt}=\vec{R}_{zovn}[/math]
Значить, в рівнянні несталого руху тіла в рідині для обліку реакції рідкого середовища необхідно масу тіла збільшити на додаткову масу, яку називають приєднаною масою рідини. Не слід розуміти цю масу буквально як масу рідини, яка рухається разом з тілом. Це характеристика інерції рідини, оточуючої тіло, при його русі із змінною швидкістю. Ми розглянули найпростіший випадок несталого руху тіла - поступального в певному напрямку. При інших більш складних видах руху тіл (поступальний в різних напрямках, обертальні, їх комбінації) гідродинамічні реакції інерційної природи характеризуються узагальненими приєднаними масами - не тільки масами, але і статичними моментами і моментами інерції цих мас. У загальному випадку несталого руху тіла з шістьма ступенями свободи існує 36 узагальнених приєднаних мас. При русі тіла в безмежній рідині вони залежать тільки від форми тіла та напрямку руху, а при русі по або поблизу вільної по- верхности рідини ще й від параметрів хвиль, викликаних рухом тіла (Зокрема, від їх частоти) / 10, 14, 15 /.
