Потенціальна течія

У гідродинаміці потенціальний потік характеризується відсутністю вихрового руху, де швидкість визначається як функція одного аргументу – потенціалу швидкості. Поступальний рух рідини в якому елементарні частинки не мають обертальних рухів називають безвихровим (потенціальним) і описують потенціалом швидкості. Умовою безвихрового потенціального потоку є rot V=0 – ротор поля в будь-якій точці дорівнює нулю. Безвихрового руху в природі не буває оскільки при русі рідини вздовж твердих кордонів утворюються вихори. Якщо вважати, що вся завихреність в локальних зонах то, можна припустити, що в решті потоку рух буде безвихровим.

Коли ефект в’язкості є незначним, наприклад при великих числах Рейнольдса, де домінує конвективний перенос імпульсу, коли здійснюється аналіз зовнішніх потоків над твердою поверхнею і потік далі залишається ламінарним, коли прикордонний шар з твердим тілом дуже тонкий у розрахунках використовують явище Потенціального потоку.

По своїй суті явище Потенціального потоку є ідеалізацією руху рідини але в окремих випадках це припущення має важливе практичне значення і значно полегшує розрахунок основних характеристик руху.

Потенціал швидкостей

Поняття потенціалу швидкості було введено Л.Ейлером. При безвихровому русі

[math]{\omega _{\rm{x}}} = {\omega _{\rm{y}}} = {\omega _{\rm{z}}} = 0[/math], (1)

де ω – кутова швидкість; [math]{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}[/math] – проекції вектора кутової швидкості.

Відомо що при вихровому русі частинка рідини, так само як і тверде тіло, обертається з кутовою швидкістю [math]\omega {\rm{ }}({\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}})[/math] відносно деякої миттєвої осі. Величини [math]{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}[/math] виражають міру обертання рідини і становлять компоненти так званої вихрової швидкості.

Якщо б частинка була твердою і оберталась довкола миттєвої осі з кутовою швидкістю ω то з теоретичної механіки відомо, що проекції вектора кутової швидкості становили б

[math]{\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right)[/math]; [math]{\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right)[/math]; [math]{\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right)[/math], (2)

де [math]{u_x},{u_y},{u_z}[/math] – компоненти швидкості зафіксованої частинки рідини.

Як зазначалось вище при потенціальному потоці частинки рідини переміщаються без обертання, тобто кутова швидкість ω і всі її компоненти дорівнюють 0 (1). Тоді вирази (2) можна записати у вигляді

[math]{\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right) = 0[/math]; [math]{\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right) = 0[/math]; [math]{\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right) = 0[/math] (3)

що рівносильно

[math]\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}} = \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}[/math]; [math]\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}}[/math]; [math]\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}} = \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}}[/math]. (4)

При виконанні умови (1) під час стаціонарного руху рідини існує певна функція координат φ(x, y, z), а при нестаціонарному – функція координат і часу φ(x, y, z, t), яка описує такий рух.

Із теорії криволінійних інтегралів відомо, що співвідношення (4) є необхідними і достатніми умовами для того, щоб рівняння [math]{u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz[/math] представляло собою повний диференціал функції трьох змінних φ(x, y, z). Таким чином,

[math]{u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz = d\varphi [/math]. (5)

Якщо повний диференціал функції φ має вигляд

[math]d\varphi = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}dy + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}dz[/math] (6)

співставляючи вирази (5) і (6) можна отримати

[math]{u_x} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}[/math]; [math]{u_y} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}[/math]; [math]{u_z} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}[/math]. (7)

Місцева або локальна швидкість

[math]u = \sqrt {{u_x}^2 + {u_y}^2 + {u_z}^2} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right)}^2}} [/math]. (8)

Тобто, швидкість у кожній точці визначається через функцію φ(x, y, z), яка називається потенціалом швидкості. Оскільки безвихровий потік описується потенціалом швидкості, то його називають потенціальним потоком.

Також прийнятна форма написання формул (5) і (7) із знаком мінус перед потенціалом φ, щоб показати що рух відбувається від точки з великим значенням потенціалу швидкості до точки із меншим його значенням. Усі співвідношення справедливі також і для нестаціонарного руху. В цьому випадку їх можна примінити до будь-якого фіксованого моменту часу, який буде грати роль параметра, і, відповідно, φ = φ(x, y, z, t). Таким чином, потенціальний потік може бути стаціонарним і нестаціонарним.

Проекції швидкості при потенціальному русі мають задовільняти не тільки (7) але й рівняння нерозривності нестисливих рідин (9)

[math]\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial z}} = 0[/math]. (9)

Підставивши рівняння (7) у диференціальне рівняння нерозривності (9) отримуємо

[math]\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right) = 0[/math]

або

[math]\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {z^2}}} = 0[/math]. (10)

Рівняння (10) називають рівнянням Лапласа. Якщо використати оператор Лапласа