Відмінності між версіями «Передавальна функція»

Рядок 6: Рядок 6:
 
де <math> U(s) \!</math> та <math> Y(s) \!</math> - перетворення Лапласа сигналів <math> u(t) \!</math> та <math> y(t) \!</math> відповідно:
 
де <math> U(s) \!</math> та <math> Y(s) \!</math> - перетворення Лапласа сигналів <math> u(t) \!</math> та <math> y(t) \!</math> відповідно:
 
: <math> U(s)  =  \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt  </math>,
 
: <math> U(s)  =  \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt  </math>,
 +
  
 
: <math> Y(s)  =  \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt </math>.
 
: <math> Y(s)  =  \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt </math>.
 +
 +
==Дискретна передавальна функція==
 +
Для дискретних та дискретно-неперервних систем вводиться поняття '''''дискретної передавальної функції'''''. Нехай <math>u(k) \!</math> - вхідий дискретний сигнал такої системи, а <math>y(k) \!</math> - її дискретний вихідний сигнал (<math>k = 0, 1, 2, \dots \!</math>). Тоді передавальна функція <math> W(z) \!</math> такої системи запишеться у вигляді:
 +
: <math> W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)} </math>,
 +
де <math> U(z) \!</math> та <math> Y(z) \!</math> - z-перетворення сигналів <math> u(k) \!</math> та <math> y(k) \!</math> відповідно:
 +
: <math> U(z)  =  \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}  </math>,
 +
 +
 +
: <math> Y(z)  =  \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k} </math>.

Версія за 15:56, 3 квітня 2011

Передавальна функція - один із способів математичного опису динамічної системи. Використовується в основному в теорії керування, комунікаційних технологіях, цифровій обробці сигналів. Являє собою диференціальний оператор, що виражає зв'язок між входом і виходом лінійної стаціонарної системи. Знаючи вхідний сигнал системи й передатну функцію, можна відновити вихідний сигнал. В теорії керування передавальна функція безперервної системи являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу при нульових початкових умовах.

Лінійні стаціонарні системи

Нехай [math]u(t) \![/math] - вхідний сигнал лінійної стаціонарної системи, а [math]y(t) \![/math] - її вихідний сигнал. Тоді передавальна функція [math]W(s) \![/math] такої системи запишеться у вигляді:

[math]W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}[/math],

де [math]U(s) \![/math] та [math]Y(s) \![/math] - перетворення Лапласа сигналів [math]u(t) \![/math] та [math]y(t) \![/math] відповідно:

[math]U(s) = \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt[/math],


[math]Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt[/math].

Дискретна передавальна функція

Для дискретних та дискретно-неперервних систем вводиться поняття дискретної передавальної функції. Нехай [math]u(k) \![/math] - вхідий дискретний сигнал такої системи, а [math]y(k) \![/math] - її дискретний вихідний сигнал ([math]k = 0, 1, 2, \dots \![/math]). Тоді передавальна функція [math]W(z) \![/math] такої системи запишеться у вигляді:

[math]W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)}[/math],

де [math]U(z) \![/math] та [math]Y(z) \![/math] - z-перетворення сигналів [math]u(k) \![/math] та [math]y(k) \![/math] відповідно:

[math]U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}[/math],


[math]Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k}[/math].