Метод Девідона – Флетчера – Пауела

Прізвище Храплива
Ім'я Уляна
По-батькові Вікторівна
Факультет ФІС
Група СНм-51
Залікова книжка СНм-11-253

Розглянемо алгоритм Девідона - Флетчера - Пауелла мінімізації функції, що диференціюється, декілька змінних. Зокрема, якщо функція квадратична, то, як буде показано пізніше, метод виробляє зв'язані напрями і зупиняється після виконання однієї ітерації, тобто після пошуку уздовж кожного із зв'язаних напрямів.

Початковий етап

Нехай [math]\varepsilon \succ 0[/math] - константа для зупинки. Вибрати точку [math]{x_1}[/math] і початково симетричну позитивно визначену матрицю [math]{D_1}[/math]. Покласти [math]{y_1} = {x_1}[/math], k = j = 1 і перейти до основного етапу.

Основний етап

Крок 1. Якщо [math]\left\| {\left. {\nabla f({y_i})} \right\| \lt \varepsilon } \right.[/math], то зупинитися; в іншому випадку [math]{d_i} = - {D_i}\nabla f({y_i})[/math] і узяти в якості [math]{\lambda _i}[/math] оптимальне рішення задачі мінімізації [math]f({y_i} + \lambda {d_i})[/math] при [math]\lambda \ge 0[/math]. Покласти [math]{y_{i + 1}} = {y_i} + {\lambda _i}{d_i}[/math]. Якщо j < n, то перейти до кроку 2. Якщо j = n, то покласти [math]{y_1} = {x_{k + 1}} = {y_{n + 1}}[/math], замінити k на k+1, покласти j=1 і повторити крок 1.
Крок 2. Побудувати [math]{D_{j + 1}}[/math] таким чином:

[math]{D_{j + 1}} = {D_j} + {\textstyle{{{p_j}p_j^T} \over {p_j^T{p_j}}}} - {\textstyle{{{D_j}{q_j}q_j^T{D_j}} \over {q_j^T{D_j}{q_j}}}},[/math]

де [math]{p_i} = {\lambda _i}{d_i},[/math]

де [math]{q_i} = \nabla f({y_{i + 1}}) - \nabla f({y_i}).[/math]

Замінити j на j+1 і перейти до кроку 1.

Приклад

Мінімізувати [math]{({x_1} - 2)^4} + {({x_1} - 2{x_2})^2}.[/math]
Результати обчислень методом Девідона - Флетчера - Пауелла приведені в таблиці 1.

k [math]{x_k}[/math]
[math]f({x_k})[/math]
j [math]{y_j}[/math]
[math]f({y_j})[/math]
[math]\nabla f({y_j})[/math] [math]\left\| {\left. {\nabla f({y_j})} \right\|} \right.[/math] D [math]{d_j}[/math] [math]{\lambda _j}[/math] [math]{y_{j + 1}}[/math]
1 (0.00,3.00)
(52.00)
1 (0.00,3.00)
(52.00)
(-44.00,24.00) 50.12 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (44.00,-24.00) 0.062 (2.70, 1.51)
2 (2.70,1.51)
(0.34)
(0.73,1.28) 1.47 [math]$\left[ 0.25|0.38\\ 0.38|0.71 \right]$[/math] (-0.67,-1.31) 0.22 (2.55,1.22)
2 (2.55,1.22)
(0.1036)
1 (2.55,1.22)
(0.1036)
(0.89,-0.44) 0.99 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.89,0.44) 0.11 (2.45,1.27)
2 (2.45,1.27)
(0.0490)
(0.18,0.36) 0.40 [math]$\left[ 0.65|0.45\\ 0.45|0.46 \right]$[/math] (-0.28,-0.25) 0.64 (2.27,1.11)
3 (2.27,1.11)
(0,008)
1 (2.27,1.11)
(0,008)
(0.18,-0.20) 0.27 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.18,0.20) 0.10 (2.25,1.13)
2 (2.25,1.13)
(0.004)
(0.04,0.04) 0.06 [math]$\left[ 0.80|0.38\\ 0.38|0.31 \right]$[/math] (-0.05,-0.03) 2.64 (2.12,1.05)
4 (2.12,1.05)
(0,0005)
1 (2.12,1.05)
(0,0005)
(0.05,-0.08) 0.09 [math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math] (-0.05,0.08) 0.10 (2.115,1.058)
2 (2.115,1.058)
(0.0002)
(0.004,0.004) 0.006

На кожній ітерації вектор[math]{d_j}[/math] для j=1,2 визначається у вигляді [math] - {D_j}\nabla f({y_j})[/math], де [math]{D_1}[/math] одинична матриця, а [math]{D_2}[/math] обчислюється по формулах (1) - (3). При k = 1 маємо [math]{p_1} = {(2.7, - 1.49)^T},{q_1} = {(44.73, - 22.72)^T}[/math]. На другій ітерації [math]{p_1} = {(-0.1, 0.05)^T},{q_1} = {(-0.7, 0.8)^T}[/math] і, нарешті, на третій ітерації [math]{p_1} = {(-0.02, 0.02)^T},{q_1} = {(-0.14, 0.24)^T}[/math]. Точка [math]{y_{j + 1}}[/math] обчислюється оптимізацією уздовж напряму [math]{d_j}[/math] при початковій точці [math]{y_j}[/math] для j = 1, 2. Процедура зупинена в точці [math]{y_2} = {(2.115, 1.058)^T}[/math] на четвертій ітерації оскільки норма [math]\left\| {\left. {f({y_2})} \right\| = 0.006} \right.[/math] досить мала. Траєкторія руху, отримана методом, показана на рисунку 1.
Рисунок 1 - Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.