Відмінності між версіями «Критерій Фішера»
Vova (обговорення • внесок) |
Vova (обговорення • внесок) (→Опис критерію) |
||
| Рядок 22: | Рядок 22: | ||
Позначим через | Позначим через | ||
| − | <math>\sigma_1^2</math> і <math>\sigma_2^2</math> [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] вибірок <math>x^n</math> і <math>y^m</math>, <math>s_1^2</math> и <math>s_2^2</math> — | + | <math>\sigma_1^2</math> і <math>\sigma_2^2</math> [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] вибірок <math>x^n</math> і <math>y^m</math>, <math>s_1^2</math> и <math>s_2^2</math> — вибіркові оцінки дисперсій <math>\sigma_1^2</math> і <math>\sigma_2^2</math>: |
::<math>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</math>; | ::<math>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</math>; | ||
::<math>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</math>, | ::<math>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</math>, | ||
де | де | ||
| − | ::<math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</math> — | + | ::<math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</math> — вибіркові средніх вибірок <math>x^n</math> і <math>y^m</math>. |
| − | ''' | + | '''Додаткове припущення''': вибірки <math>x^n</math> і <math>y^m</math> є [[Нормальне розподілення|нормальними]]. |
| − | + | Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність. | |
| − | '''[[ | + | '''[[Нульова гіпотеза]]''' <math>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</math> |
'''Статистика критерію Фішера''': | '''Статистика критерію Фішера''': | ||
::<math>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</math> | ::<math>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</math> | ||
| − | має [[росподіл Фішера]] з <math>n-1</math> | + | має [[росподіл Фішера]] з <math>n-1</math> і <math>m-1</math> степенями свободи. |
Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. | Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. | ||
| − | Одже [[критична область критерію|критической областью критерия]] | + | Одже [[критична область критерію|критической областью критерия]] є правий хвіст розподілу Фішера, |
| − | що | + | що відповідає альтернативній гіпотезі <math>H_1'</math>. |
'''Критерій''' (при [[рівні значущості|рівні значущості]] <math>\alpha</math>): | '''Критерій''' (при [[рівні значущості|рівні значущості]] <math>\alpha</math>): | ||
Версія за 12:37, 2 березня 2012
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
| {{{img}}} | ||
| Імя | Володимир | |
| Прізвище | Шостак | |
| По-батькові | Михайлович | |
| Факультет | ФІС | |
| Група | СН-51 | |
| Залікова книжка | СН-11-222 | |
Критерій Фішера застосовується для перевірки рівності дисперсій двох вибірок. Його відносять до критеріїв розсіювання.
При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням критерію Стьюдента має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона вірна, то для порівняння середніх можна скористатися більш потужнім критерієм.
У регресійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей. Зокрема, він використовується в крокової регресії для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.
У дисперсійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії. Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних. Перед його застосуванням рекомендується виконати перевірку нормальності.
Зміст
Приклади задач
Опис критерію
Задані дві вибірки [math]x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}[/math].
Позначим через [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math] дисперсії вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math], [math]s_1^2[/math] и [math]s_2^2[/math] — вибіркові оцінки дисперсій [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math]:
- [math]s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2[/math];
- [math]s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2[/math],
де
- [math]\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}[/math] — вибіркові средніх вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math].
Додаткове припущення: вибірки [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math] є нормальними. Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність.
Нульова гіпотеза [math]H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2[/math]
Статистика критерію Фішера:
- [math]F=\frac{s_1^2}{s_2^2}[/math]
має росподіл Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи. Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. Одже критической областью критерия є правий хвіст розподілу Фішера, що відповідає альтернативній гіпотезі [math]H_1'[/math].
Критерій (при рівні значущості [math]\alpha[/math]):
- протів альтернативи [math]H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2[/math]
- якщо [math]F\lt F_{\alpha/2}(n-1,m-1)[/math] або [math]F\gt F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)[/math], то нулова гіпотеза [math]H_0[/math] отвергается в пользу альтернативи [math]H_1[/math].
- протів альтернативи [math]H_1':\; \sigma_1^2 \gt \sigma_2^2[/math]
- если [math]F\gt F_{1-\alpha}(n-1,m-1)[/math], то нулевая гипотеза [math]H_0[/math] отвергается в пользу альтернативы [math]H_1'[/math];
де [math]F_{\alpha}(n-1,m-1)[/math] є [math]\alpha[/math]-квантиль розподілу Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи.
Література
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Дивитись. також
- Критерий Стьюдента
- Проверка статистических гипотез
- Статистика (функция выборки)
- Нормальный дисперсионный анализ
Ссилки
- Распределение Фишера (Википедия).
- Критерий Фишера (Википедия).
