Критерій Фішера

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 10 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Критерій Фішера применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок. Его относят к критериям рассеяния.

При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием критерия Стьюдента имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более мощным критерием.

В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей. В частности, он используется в шаговой регрессии для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель.

В дисперсионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия.

Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. Перед его применением рекомендуется выполнить проверку нормальности.

Описание критерия

Заданы две выборки <tex>x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.

Обозначим через <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> дисперсии выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_1^2</tex> и <tex>s_2^2</tex> — выборочные оценки дисперсий <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex>:

<tex>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</tex>;

<tex>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</tex>,

где

<tex>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</tex> — выборочные средние выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>.

Дополнительное предположение: выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются нормальными. Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.

Нулевая гипотеза <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex>

Статистика критерия Фишера:

<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex>

имеет распределение Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы. Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе <tex>H_1'</tex>.

Критерий (при уровне значимости <tex>\alpha</tex>):

• против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex>

если <tex>F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)</tex> или <tex>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>.

• против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex>

если <tex>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;

где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-квантиль распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.

Література

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Дивитись. також

• Критерий Стьюдента
• Проверка статистических гипотез
• Статистика (функция выборки)
• Нормальный дисперсионный анализ

Ссилки

• Распределение Фішера (Википедия).
• Критерій Фішера (Википедия).

Посилання

Фішера