Коваріаційний аналіз

Коваріаційний аналіз — сукупність методів математичної статистики, що відносяться до аналізу моделей залежності середнього значення деякої випадкової величини <tex>Y</tex> одночасно від набору (основних) якісних факторів <tex>F</tex> і (супутніх) кількісних факторів <tex>X</tex>. Фактори задають поєднання умов, при яких були отримані спостереження <tex>X,Y</tex>, і описуються за допомогою індикаторних змінних, причому серед супутніх і індикаторних змінних можуть бути як випадкові, так і невипадкові (контрольовані в експерименті).

Якщо випадкова величина <tex>Y</tex> є вектором, то говорять про багатовимірний коваріаційний аналіз.

Коваріаційний аналіз часто застосовують перед дисперсійним аналізом, щоб перевірити гомогенність (однорідність) вибірки спостережень <tex> X, Y </ tex> за всіма супутніми факторами.

Приклади задач

Приклад 1: Нехай маємо 3 методи вивчення арифметики і групу студентів. Група розбирається випадковим чином на 3 підгрупи для вивчення одного із методів. В кінці курсу студенти складають загальний тест, за результатами якого ставляться бали. Також для кожного студента є одна чи кілька характеристик (кількісних) їх загальної освідченості.

Потрібно перевірити гіпотезу про одинакові ефективності методик навчання.

Приклад 2: Для порівняння якості декількох видів крохмалю (пшеничного, картопляного та ін.) був проведений експеримент, в якому вимірювалася міцність крохмальних плівок. Також для кожного випробування виміряна товщина використовувалася крохмальної плівки.

Потрібно перевірити гіпотезу про однаковій якості різного крохмалю.

Приклад 3: Нехай для кількох різних шкіл були зібрані оцінки їхніх учнів, отримані на загальному для всіх іспиті. Також для кожного з учнів відомі оцінки, отримані ними з інших іспитів.

Потрібно перевірити гіпотезу про однаковій якості освіти в школах.

Постановка завдання

Основні теоретичні та прикладні проблеми коваріаційного аналізу відносяться до лінійних моделям. Зокрема, якщо аналізуються <tex>n</tex> спостережень <tex>Y_1,\ldots,Y_n</tex> с <tex>p</tex> супутніми змінними <tex>(X=(x^{(1)},\ldots,x^{(p)}))</tex>, <tex>k</tex> можливими типами умов експерименту <tex>(F=(f_1,\ldots,f_k))</tex>, то лінійна модель відповідного коваріаційного аналізу задається рівнянням: