Дискретні розподіли

Вступ

Нормальний закон розподілу стосується неперервних випадкових величин. Для дискретних величин він може застосовуватися лише за певних умов, зокрема при великому числі випробувань. Разом з тим число дискретних величин часто не може бути великим (обсяг вибірки невеликий), а крім того, на імовірність тієї чи іншої події (наслідку) впливають деякі обмеження.

Біномінальний розподіл

У робочих процесах АПК, особливо біологічних, найчастіше користуються біноміальним розподілом дискретних величин. Він виникає тоді, коли при будь-якому випробуванні у серії має відбутися одна подія або у деякому розумінні їй протилежна. Вивчення цього розподілу розпочалося з відомої гри в підкидування монет, тому появу однієї події часто називають сприятливим наслідком або успіхом (наприклад, гербом зверху на монеті, що впала, для гравця, який поставив на герб), а протилежної — несприятливим наслідком або невдачею. Ці терміни зберігають свій прямий смисл, наприклад при випробуванні нового препарату на тваринах з можливими наслідками виживає—не виживає. В основі біноміального закону розподілу лежить загальна схема, названа ім'ям відомого швейцарського вченого математика Якоба Бернуллі. Нехай випадкова величина х набуває тільки двох значень: 1 та 0, причому результати кожного випробування не залежать одні від одних. Ця вимога задовольняється при підкиданні правильної монети. У випадку виймання навздогад білих або чорних куль з урни вона задовольняється за умови, якщо перед черговим випробуванням опускати раніше вийняті кулю назад в урну. Така схема випробувань лежить в основі широкого кола експериментів, наслідки яких належать двом взаємовиключаючим класам, а розподіл змінної х, яка може набувати тільки двох значень (х = 1 з імовірністю р або х = 0 з імовірністю q = 1 – р), називається розподілом Бернуллі. Якщо нас цікавить, яка імовірність сприятливого наслідку в серії з N дослідів, то треба врахувати, що число цих наслідків k може набувати будь-яких цілих значень від 0 до N, а число протилежних наслідків дорівнює N – k. При цьому імовірність р (N, k) обчислюється за біноміальним законом

[math]p(N,k)=C_N^kp^Nq^{N-1},[/math]

де [math]C_N^k=\frac{N!}{k!(N-k)!}[/math] - біноміальний коефіцієнт.

Параметри N та р повністю визначають біноміальний розподіл. На рисунку 1 зображено полігони p(N,k) для N=20 та п'яти значень p.

Звідси випливає, що біноміальний розподіл є симетричним тілбки при p=q=0,5. При цьому рівноймовірність наслідківє найчастішою в робочих процесах. При обчисленні теоретичного біноміального розподілу з відомими N та р використовують ту обставину, що р(N, k) є членами в розкладанні бінома Ньютона:

[math]\sum_{k=0}^Np(n,k)=\sum_{k=0}^NC_np^Nq^{N-1}=(p+q)^N=C_n^0p^Nq^0+C_n^1p^{N-1}q^1+...+C_N^Np^0q^N.[/math]

Біноміальні коефіцієнти Сn визначають за допомогою трикутника Паскаля, в якому вони займають рядок з номером N, наприклад для N в межах першого десятка:

Для обчислення р(N, k), починаючи з р(N, 0), можна користуватися також рекурентною формулою:

[math]\frac{p(N,k)}{p(N,k-1)}=\frac{(N-k+1)p}{kq}.[/math]