Реактивне сопло

Витік надзвукового струменя з сопла ракетного двигуна RS-68 на вогневих випробуваннях. NASA, США.

Реактивне сопло, профільований насадок (патрубок, канал лопатки соплового апарату і т.д.), що встановлюється в трубопроводах (або закритих каналах) для перетворення потенційної енергії, що протікає, робочого тіла (рідини, пари, газу) в кінетичну. Після проходження реактивне сопло підвищує швидкість руху робочого тіла. Вперше таке сопло було застосоване винахідником Густафом де Лавалем в 1889 для підвищення швидкості пари перед робочим колесом парової турбіни. Теорія рективного сопла розроблена С. А. Чаплигиним в 1902.

Сопло Лаваля - технічне пристосування, яке розганяє газовий потік до надзвукових швидкостей. Широко використовується на деяких типах парових турбін і є важливою частиною сучасних ракетних двигунів і надзвукових реактивних авіаційних двигунів. Сопло являє собою канал, звужений в середині. У простому випадку таке сопло може складатися з пари усічених конусів, сполучених вузькими кінцями. Ефективні сопла сучасних ракетних двигунів профілюються на підставі газодинамічних розрахунків. Пріоритет Годдарда на застосування сопла Лаваля для ракет підтверджується малюнком в описі винаходу в патенті США "US Patet 1102653" від 7 липня 1914 р., на двоступеневу твердопаливну ракету, заявленому в жовтні 1913 р. У Росії в ракетному двигуні сопло Лаваля вперше було використано генералом М. М. Поморцевим в 1915 р.. У листопаді 1915 року в Аеродинамічний інститут звернувся генерал М. М. Поморцев з проектом бойової пневматичної ракети. Ракета Поморцева приводилася в рух стисненим повітрям, що істотно обмежувало її дальність, але зате робило її безшумною. Ракета призначалася для стрільби з окопів по ворожих позиціях. Боєголовка оснащувалася тротилом. У ракеті Поморцева було застосовано два цікавих конструктивних рішення: в двигуні використовувалось сопло Лаваля, а з корпусом був зв'язаний кільцевий стабілізатор. У реактивному двигуні застосовують:

• звужуюче реактивне сопло для створення дозвукових швидкостей;
• звужуюче-розширяюче реактивне сопло (сопло Лаваля) - для отримання надзвукових швидкостей .
• косе сопло - для отримання надзвукових швидкостей при постійному профілі і широкому діапазоні робочих швидкостей.

Принцип дії

Феномен прискорення газу до надзвукових швидкостей в соплі Лаваля був виявлений в кінці XIX ст. експериментальним шляхом. Пізніше це явище знайшло теоретичне пояснення в рамках газової динаміки.

При наступному аналізі перебігу газу в соплі Лаваля приймаються наступні допущення:

• Газ вважається ідеальним.
• Газовий потік є ізоентропним (тобто має постійну ентропію, сили тертя і дисипативні втрати не враховуються) і адіабатичним (тобто теплота не підводиться і не відводиться).
• Газовий протік є стаціонарним і одновимірним, тобто в будь фіксованій точці сопла всі параметри потоку постійні в часі і змінюються тільки уздовж осі сопла, причому у всіх точках обраного поперечного перерізу параметри потоку однакові, а вектор швидкості газу всюди паралельний осі симетрії сопла.
• Масова витрата газу однакова у всіх поперечних перерізах потоку.
• Вплив всіх зовнішніх сил і полів (в тому числі гравітаційного) дуже мале.
• Вісь симетрії сопла є просторовою координатою [math]\, x[/math].

Відношення локальної швидкості [math]\,v[/math] до локальної швидкості звуку [math]\, C[/math] позначається числом Маха, яке також розуміється місцевим, тобто залежним від координати [math]\, x[/math]:

[math]M = \frac{v}{C}[/math]    (1)

З рівняння стану ідеального газу:[math]\frac{dp}{d\rho}=C^2[/math], тут [math]\,\rho[/math] - локальна щільність газу, [math]\, p[/math] - локальне тиск. З урахуванням цього, а також з урахуванням стаціонарності і одномірності потоку рівняння Ейлера приймає вигляд:

[math]v\frac{dv}{dx} = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{dx} = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{d\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} = - \frac{C^2}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx}[/math],

якщо врхувати рівняння (1), то отримаємо:

[math]\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} = -M^2\cdot \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx}[/math].    (2)

Рівняння (2) є ключовим
Переглянемо його в наступній формі:

[math]\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx} / \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -M^2[/math]     (2.1)

Велмчмнм [math]\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx}[/math] і [math]\frac{1}{v} \frac{dv}{dx}[/math] характеризують відносну ступінь змінності по координаті [math]\, x[/math] щільності газу і його швидкості відповідно. Причому рівняння (2.1) показує, що співвідношення між цими величинами дорівнює квадрату числа Маха (знак мінус означає протилежну спрямованість змін: при зростанні швидкості щільність зменшується). Таким чином, на дозвукових швидкостях [math]\, (M \lt 1)[/math] щільність змінюється у меншій мірі, ніж швидкість, а на надзвукових [math]\, (M\gt 1)[/math] - навпаки. Як буде видно далі, це і визначає звужуючо-розширюючу форму сопла.

Оскільки масовий розхід газу постіний:

[math]\rho\cdot v\cdot A = \mathsf{const}[/math],

где [math]\, A[/math] — площа поперечного перерізу сопла,

::[math]\ln \rho + \ln v + \ln A = \ln(\mathsf{const})[/math],

диференціюючи обидві частини цього рівняння по [math]\, x[/math], отримуємо:

[math]\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} + \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{A}\cdot \frac{dA}{dx} = 0[/math].

Післяпідстановки з (2) в це рівняння, остаточно отримуємо:

[math]\frac{dA}{dx} = \frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx}\cdot ({M^2 - 1})[/math]     (3)

При збільшенні швидкості газу в соплі знак фиразу [math]\frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx}[/math] додатній і, знак похідниї [math]\frac{dA}{dx}[/math] визначається знаком виразу: [math]\,({M^2 - 1})[/math]

Ілюстрація роботи сопла Лаваля. По мірі руху газу по соплу, його абсолютна температура Т і тиск Р понижуються, а швидкість V збільшується. М — число Маха.

З чого можна зробити наступні висновки:

• При дозвуковій швидкості рух газу [math]\,(M\lt 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}\lt 0[/math] — сопло звужується.
• При надзвуковій швидкості рух газу [math]\,(M\gt 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}\gt 0[/math] — сопло розширюється.
• При русі газу зі швидкістю звуку [math]\,(M = 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}=0[/math] — площа поперечного перерізу досягає екстремума, тобто має місце найвужчий переріз сопла, яке називається критичним.