Ядерне згладжуваня
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
| {{{img}}} | ||
| Імя | Володимир | |
| Прізвище | Шостак | |
| По-батькові | Михайлович | |
| Факультет | ФІС | |
| Група | СН-51 | |
| Залікова книжка | СН-11-222 | |
Ядерное сглаживание - один из простейших видов непараметрической регрессии.
Зміст
Постановка задачи
- Решается задача восстановления регрессии. Задано пространство объектов [math]X[/math] и множество возможных
ответов [math]Y=R[/math]. Существует неизвестная целевая зависимость [math]y^*: X \rightarrow Y[/math], значения которой известны только на объектах обучающей выборки [math]X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m[/math]. Требуется построить алгоритм [math]a: X \rightarrow Y[/math], аппроксимирующий целевую зависимость [math]y^*[/math].
Принцип
Принцип, используйщий идейно простой подход к представлению последовательности весов [math]\{ W_{mi}(x) \}_{i=1}^m[/math] состоит в описании формы весовой функции [math]W_{mi}(x)[/math] посредством функции плотности со скалярным параметром, который регулирует размер и форму весов около х. Эту функцию формы принято называть ядром [math]K[/math].
Полученные таким образом веса далее используются для представления величины [math]a(x)[/math] в виде взвешенной суммы значений [math]y_i[/math] обучающей выборки.
Описание метода
Определение ядра
Ядро — это непрерывная ограниченная симметричная вещественная функция [math]K[/math] с единичным интегралом
- [math]\int K(u)du=1[/math]
Последовательность весов
Последовательность весов для ядерных оценок (для одномерного [math]x[/math]) определяется как ::[math]W_{mi}(x)=\frac{K_{h_m}(x-X_i)}{\hat{f}_{h_m}(x)}[/math], где
- [math]\hat{f}_{h_m}(x)=\frac1m \sum_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)[/math],
a
- [math]K_{h_m}(u)=\frac{1}{h_m} K\(\frac{u}{h_m}\)[/math]
представляет собой ядро с параметром [math]h_m[/math]. Этот параметр принято называть шириной окна. Подчеркнув зависимость [math]h\ =\ h_m[/math] от объема выборки [math]m[/math], условимся сокращенно обозначать последовательность весов [math]W_{mi}(x)[/math].
Функция ядра
Функция [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] является ядерной оценкой плотности Розенблата — Парзена (Rosenblatt, 1956; Parzen, 1962) для (маргинальной) плотности переменной [math]x[/math]. Данный вид ядерных весов [math]W_{mi}(x)[/math] был предложен в работах (Nadaraya, 1964) и (Watson, 1964). Как следствие, оценка ожидаемой величины восстанавливаемой зависимости [math]E(y\|x)[/math]:
- [math]\hat{m}_h(x)=\frac{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)Y_i}{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)}[/math]
часто называют оценкой Надарая—Ватсона. Ширина окна определяет, насколько быстро убывают веса [math]W_{mi}(x)[/math] по мере удаления объектов [math]x_i[/math] от [math]x[/math]. Характер убывания определяется видом ядра [math]K[/math]. Нормализация весов [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] гарантирует, что сумма весов равна единице.
Замечание. При ряде условий имеет место сходимость по вероятности данной оценки к [math]E(y|x)[/math].
Пример функции ядра
На практике используется несколько видов ядерных функций. Чаще всего используется квартическая ядерная функция
- [math]K(u)=(15/16)(1-u^2)^2I(\| u \| \le 1)[/math].
Также используется ядро Епанечникова, обладающее некоторыми свойствами оптимальности [Хардле В п4.5]; это функция параболического типа (Epanechnikov, 1969; Bartlett, 1963):
- [math]K(u)=0.75(1-u^2)I(\| u \| \le 1)[/math].
Другими примерами являются ядро Гаусса,
- [math]K(u)=(2\pi)^{-1/2} \exp(-u^2/2)[/math],
треугольное ядро
- [math]K(u)=(1-\|u\|)I(\| u \| \le 1)[/math],
и прямоугольное ядро
- [math]K(u)=(1/2)I(\| u \| \le 1)[/math].
Замечание. Точность восстанавливаемой зависимости мало зависит от выбора ядра. Ядро определяет степень гладкости функции [math]a(x)[/math].
Зависимость от ширины окна
Выбор окна решающим образом влияет на точность восстанавливаемой зависимости. При чересчур малых значениях [math]h[/math] кривая [math]a(x)[/math] стремится пройти через каждую точку выборки, остро реагируя на шумы и претерпевая резкие скачки, поскольку в этом случае оценка опирается только на небольшое число наблюдений из узкой окрестности точки [math]x[/math]. Наоборот, если ширина окна велика, функция чрезмерно сглаживается и в пределе при [math]h \rightarrow \infty[/math] вырождается в константу -- усреднённое значение величин [math]y_i[/math]. В этом случае сглаженная функция не даёт возможности определить характерные особенности искомой зависимости [math]y^*(x)[/math].
