Непараметрична регресія

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 10 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Непараметрична регресія, на відміну від параметричних підходів, використовує модель, яка не описується кінцевим числом параметрів.

Вступ

Мета регресійного аналіза полягає у здійсненні розумної апроксимації невідомої функції відгуку [math]Y(X)[/math] по відомим точкам [math](X_i,Y_i)_{i = 1}^{m}[/math]. У випадку малих помилок спостереження стає можливим сконцентрувати увагу на важливих деталях середньої залежності [math]Y[/math] від [math]X[/math] при її інтерпретації.

Відмінність від параметричних підходів

Процедура апроксимації зазвичай називається згладжуванням. По суті ця апроксимація функції відгуку [math]Y[/math] може бути виконана двома способами. Досить часто використовується параметричний підхід, що полягає у припущенні, що функція відгуку [math]Y[/math] має деяку визначену функціональну форму, наприклад, це пряма лінія з невідомим вільним членом і нахилом. Альтернативою цьому може служити спроба оцінити [math]Y[/math] непараметричним чином, без вказівки конкретного її виду. Перший підхід до аналізу регресійної залежності називається параметричним, оскільки передбачається, що вид функції повністю описується кінцевим набором параметрів. Типовий приклад параметричної моделі являє собою поліноміальне рівняння регресії, коли параметрами є коефіцієнти при невідомих. Однак при параметричному підході передбачається, що крива може бути представлена в термінах параметричної моделі, або, принаймні, є впевненість в тому, що помилка апроксимації для найкращого параметричного наближення є дуже мале. Навпаки, в непараметричної моделі регресійної залежності не проводиться проектування даних в "прокрустове ложе" фіксованого параметризації. Попереднє завдання параметричної моделі може виявитися занадто обмежувальним, або надто малою розмірності для апроксимації непередбачених характеристик, в той час, як непараметричне згладжування надає гнучкі засобам аналізу невідомих регресійних залежностей.

Непараметричний підхід приводить, таким чином, до гнучкого функціонального виду кривої регресії.

Ядерне згладжування

Одним із найпростіших методів є ядерне згладжування. Цей метод простий у застосуванні, не вимагає додаткових математичних відомостей і зрозумілий на інтуїтивному рівні. Ядерне згладжування в багатьох випадках є підходящим засобом. Існують різноманітні альтернативні методи згладжування такі, наприклад, як сплайни, але в [Хардле В., Заг 3] показується, що в асимптотичному сенсі вони еквівалентні ядерному згладжуванню.

Ключем до проведення якісного непараметричного оцінювання є вибір відповідної ширини вікна для наявного завдання. Хоча ядерна функція [math]K[/math] залишається важливою, її головна роль полягає в забезпеченні диференцируємості і гладкісті отримуваної оцінки. Ширина вікна [math]h[/math], з іншого боку, визначає поведінку оцінки в кінцевих вибірках, що ядерна функція зробити просто не в змозі. Існують чотири загальні підходи до вибору ширини вікна:

1. референтні евристичні правила;
2. методи підстановки;
3. методи крос-валідації;
4. бутстраповские методи.

Заради охайності підкреслимо, що диктовані дані методи вибору ширини вікна [math]h[/math] не завжди гарантують гарний результат.

Виходячи з мінімізації глобальної помилки потрібно [math]h[/math] брати рівним:

[math]h_{opt}=\[ \frac{\int{K^2(z)dz}}{ \(\int{z^2K^2(z)dz} \)^2 \int{\[y''(x)\]^2dx} }\]^{-1/5} m^{-1/5}[/math], де [math]y(x)[/math] - невідома апроксимируюча залежність.

Референтні евристичні правила

Референтні евристичні правила вибору ширини вікна використовують стандартне сімейство розподілів для визначення [math]h_{opt}[/math].

Розглянемо оцінку Парзена-Розенблата для одновимірної функції щільності

[math]\hat{y}(x)=\frac{1}{mh} \sum_{i=0}^m{K\( \frac{X_i-x}{h}\)}[/math].

У випадку сімейства нормальних розподілів і гауссовского ядра [math]h_{opt}=1.059*\sigma m^{-1/5}[/math]. На практиці застосовується [math]\hat{\sigma}[/math], вибіркове стандартне відхилення.

Методи підстановки

Методи підстановки, такі як в Sheather, Jones (1991), полягають у підстановці оцінок невідомої константи [math]\int{\[y''(x)\]^2dx[/math] в формулу для оптимальної ширини вікна на основі первинної оцінки [math]y''(x)[/math], яка в свою чергу заснована на «попередній» ширині вікна, наприклад, знайденої за правилом [math]1.059*\sigma m^{-1/5}[/math] . Всі інші константи у виразі для [math]h_{opt}[/math] відомі після вибору ядерної функції [math]K[/math] (отже [math]\int{K^2(z)dz}[/math] і [math]\int{z^2K^2(z)dz}[/math] відомі). Хоча такі правила популярні, зацікавлений читач може звернутися до праць Loader (1999), де обговорюються відносні переваги методів підстановки в порівнянні з іншими методами вибору ширини вікна, обговорюваними нижче.

Методи крос-валідації

Методи крос-валідації заснований на основе найменших квадратів – це повністю автоматичний і диктуються даними методу вибору згладжуваного параметра. Цей метод заснований на принципі вибору ширини вікна, мінімалізує інтегральну среднеквадратичну помилку отримуваної оцінки. Інтеграл квадрата різниці [math]y(x)[/math] и [math]\hat{y}(x)[/math] має вигляд

[math]\int{\[y(x) - \hat{y}(x)\]^2dx } = \int{y^2(x)dx} - 2*\int{y(x)\hat{y}(x)dx} + \int{\hat{y}^2(x)dx}[/math]

Рис. 1. Оцінка щільності крос-валідаціїна основі найменших квадратів

Можна замінити ці величини їх вибірковими аналогами, зробити поправку на зсув і отримати цільову функцію, яку потім можна мінімізувати за допомогою чисельних методів. Цей підхід був запропонований в роботах Rudemo (1982) і Bowman (1984). Для розуміння сутності коментарів у Loader (1999) на Рис. 1 зображені оцінки бімодальної щільності - ядерна оцінка при застосуванні правила підстановки і крос-валідації на основі найменших квадратів. Рис. 1показує, що насправді правило підстановки надмірно згладжує, приводячи до істотного зсуву в лівій вершині. Крос-валідація на основі найменших квадратів виправляє це, як зазначає Loader (1999), але ціною додаткової варіації в правій вершині.

Одна з проблем даного підходу - його чутливість до наявності округлених або Дискретизований даних, а також до дрібномасштабних ефектів у даних.

З прикладу випливає, що, можливо, ядерну оцінку з фіксованим параметром [math]h[/math] можна поліпшити, і існують «адаптивні» ядерні оцінки, які дозволяють [math]h[/math] змінюватися в точці [math]x[/math] або [math]X_i[/math]; см. Abramson (1982) і Breiman, Meisel, Purcell (1977). Ці оцінки, однак, сприяють введенню помилкового шуму в оцінку щільності. Однак метод з фіксованим [math]h[/math] домінує в прикладних дослідженнях.

Бутстраповскі методи

Faraway, Jhun (1990) запропонували метод вибору ширини вікна [math]h[/math] на основі бутстрапа, шляхом оцінювання інтегральної середньоквадратичної помилки для кожної фіксованої ширини вікна, і потім мінімізації її по всіх значенях. Даний підхід використовує згладжений бутстраповский метод на основі початкової оцінки щільності. Один з недоліків цього підходу в тому, що цільова функція є випадковою, що може привести до проблем при чисельної мінімізації, а також його обчислювальна складність.

---

Ядерні ваги визначають деяку ділянку навколо точки [math]x[/math] що лежить на сітці. Наступне питання згладжування - поліноміальний наближення функції [math]y[/math] в цій ділянці.

Локально поліноміальні наближення

Рис. 2. Локально поліноміальні зглажування

Найпростішим поліномом наближення в такій околиці є константа. Ядерна оцінка мінімізує суму квадратів нев'язок в околиці точки [math]x[/math], форма і розмір якої визначається ядром [math]K[/math].

Локально поліноміальні наближення і його зв'язок з ядерним згладжуванням детально досліджені в працях (Muller 1987), де показана їх еквівалентність.

Детальніше також див. Алгоритм LOWESS

k-NN оцінки

Рис. 3. k-NN зглажування

Конструкція оцінок найближчих сусідів відрізняється від ядерних оцінок. Ядерна оцінка визначається як зважене середнє зміних відгуку у фіксованій ділянці точки [math]x[/math], причому ваги визначалися ядром [math]K[/math] і шириною вікна [math]h[/math]. Оцінка k-найближчих сусідів являє собою середнє, зважене в мінливих ділянок. Ця ділянка визначається тільки тими значеннями змінної [math]X[/math], які в [math]k[/math] є найближчими до [math]x[/math] по евкліду (звичайної) віддалі. Послідовність [math]k-NN[/math] ваг була введена в роботі Loftsgaarden, Quesenberry (1965) для близької задачі оцінювання щільності і використовувалася в Cover, Hart (1967) для цілей класифікації.

Параметр згладжування [math]k[/math] визначає ступінь гладкості оцінки кривої. Він грає ту ж роль, що і ширина вікна для ядерних зглажувань. Вплив змінного [math]k[/math] на якісні характеристики оцінки аналогочіно випадку ядерних оцінок з прямокутним ядром.

На Рис. 3. Зображений приклад порівняння ядерного згладжування з квартіческім ядром і [math]k-NN[/math] згладжування. Ширина вікна вибиралася методом крос-перевірки. Дані пропусколись через вікна шириною [math]h = 0.25[/math] для ядерного згладжування на відрізку [math][0,3][/math] і [math]h = 0.15[/math] для осі значень. Отримані криві регресії практично збігаються для [math]x\le 1[/math], де лежить велика частина даних. При більших значенях [math]x[/math] спостерігається істотна розбіжність кривих: ядерна оцінка показує очевидне бімодальне співвідношення, а симетризовавша оцінка найближчих сусідів вказує або на асимптоту, або навіть на слабке спадання із зростанням доходу. В контексті завдання, здається, що останнє містить більше сенсу з точки зору економіки ...

Оцінки ортогональніх розкладань

Рис. 4. Згладжування c допомогою ортогональних розкладань

Припустимо, що функція регресії може бути представлена у вигляді ряду Фур'є

[math]y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\beta_j\varphi_j(x)[/math],

де [math]{\{\varphi_j\}}_{j=0}^\infty[/math] - відома система базисних функцій, а [math]{\{\beta_j\}}_{j=0}^\infty[/math] - невідомі коефіцієнти Фур'е. В работі Szego (1959) наведені умови, за яких таке подання можливе. Добре відомими системами базисних функцій є поліноми Лагерра та поліноми Лежандра. Як тільки фіксований базис функцій, проблема оцінювання функції регресії може бути зведена до оцінювання коефіцієнтів Фур'є. Звичайно, існує певна складність, яка полягає в тому, що може бути нескінченно багато ненульових коефіцієнтів [math]\beta_j[/math]. Таким чином, при заданому кінцевому обсязі вибірки [math]m[/math] можна ефективно оцінити лише підмножину коефіцієнтів.

Приклад застосування показаний на 'Рис. 4. '

Зглажування сплайнами

Рис. 5. Зглажування за допомогою сплайнів

Загальною мірою близькості до даних для деякої кривої [math]g[/math] є сума квадратів нев'язок

[math]\sum_{i=1}^{n}{(Y_i-g(X_i))}^2[/math]

Якщо [math]g[/math] може будь кривою - необмеженої в функціональному сенсі - то цей захід, що має сенс відстані, дорівнює нулю для всякої кривої [math]g[/math], інтерполюється дані. Підхід, заснований на згладжуванні сплайнами, виключає цю небажану інтерполяцію даних за рахунок досягнення компромісу між двома суперечливими цілями: отримати гарну апроксимацію даних і отримати криву, яка не має надто швидких локальних змін.

Відомі різні способи кількісної оцінки локальних змін. Можна визначити міру плавності кривої, засновану, наприклад, на першій, другій, і більш старших похідних. Для успішного розкриття основної ідеї найзручніше ввести інтеграл від квадрата другої похідної, тобто для кількісної оцінки локального зміни використовувати штраф за порушення плавності

[math]\int {(g''(x))}^2dx[/math].

Приклад згладжування сплайнами представлений на Рис. 5.Інтерпретація даних: дані про мотоциклі [Значення [math]X[/math] (в мс) після змодельованого зіткнення з мотоциклом. Мінлива відгуку [math]Y[/math] - прискорення (в g) посмертного тестування об'єкта. З Schmidt, Mattern, Schiiler (1981)]

Перелік менш поширених методів

Рис. 6. Регрессограмма

Рекурентні методи

Припустимо, що дані [math]\{(X_i,Y_i)\}_{i\ ge l}[/math] спостерігаються не як вибірка фіксованого обсягу [math]m[/math], а як послідовність пар [math](X_1,Y_1), (X_2,Y_2),\ldots[/math] надходять з виходу деякого пристрою спостереження. Такі пристрої присутні в задачах контролю (surveillance problems), управління (control operations) або втручання (intervention problems). У загальному випадку можна розглядати дані як часовий ряд. Оскільки непараметричні оцінки зазвичай визначаються по всій вибірці, її доводиться перераховувати при надходженні нових даних. Отже, з обчислювальної точки зору краще, щоб оцінка регресії, заснована на [math](n + 1)[/math] точках, будувалася виходячи з [math](n + 1)[/math] -го спостереження [math](X_{n + i},Y_{n +1})[/math] та оцінки, отриманої за першими [math]n[/math] точкам, без виклику попередніх даних з пам'яті комп'ютера.

Регрессограмма

Цей термін був введений Тьюкі (Tukey, 1961) для того, щоб підкреслити зв'язок цієї оцінки з гістограмою. Регрессограмма являє собою середнє тих значень змінних відгуку, для яких відповідні величини [math]X[/math] потрапляють в один з інтервалів розбиття простору спостережень змінної [math]X[/math] Tukey (1947) - її можна розглядати як апроксимацію [math]y(x)[/math] ступінчастою функцією, і вона фактично є ядерною оцінкою (з прямокутним ядром), обчисленої в середніх точках інтервалів розбиття. На Рис. 6. Зображені дані про роботу мотоцикла і регрессограмма при кроці розбиття 4.

Медіанне згладжування

Рис. 7. Медіанне згладжування

Припустимо, що метою апроксимації є крива умов медіани [math]med(Y|X = x)[/math], а не крива умовного середнього. Послідовність "локальних медиан" для значень змінної відгуку визначає э медіанний зглажувач. Медіанне згладжування зіграло важливу роль в історичному розвитку методів згладжування.

Ця оцінка має очевидну аналогію з [math]k-NN[/math] - оцінкою, але відрізняється, принаймні, у двох аспектах: медіанне згладжування стійко по відношенню до великих викидів, і за допомогою цього методу з'являється можливість моделювати розриви кривої регресії [math]med(Y|X = x)[/math]. На Рис. 7. На прикладі даних про мотоциклах (див. Пояснення до Рис. 5) наведено порівняння двох методів оцінювання - медіанного згладжування і [math]k-NN[/math] - оцінки.

Цей приклад виявляє властивість робастності медіанного згладжування. Медіанна оцінка не схильна до впливу групи можливих викидів в районі точки [math]x = 35[/math], і вона трохи ближче до основної маси даних у двох «областях сплесків» [math](x = 20,32)[/math]. Деякий недолік полягає в тому, що за своєю природою оцінка медіанного згладжування є грубою характеристикою.

Література

1. Хардле В. непараметрическая регрессия.- 1989.
2. Расин, Джеффри «Непараметрическая эконометрика: вводный курс». - Квантиль, №4, 2008. - 7–56стр.

Ссилки

1. Abramson, I.S. On bandwidth variation in kernel estimates – a square root law. Annals of Statistics 10. – 1982 . - 1217–1223 стр.
2. Bowman, A.W. An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates. Biometrika 7. - 1984 . - 353 –360 стр.
3. Breiman, L., W. Meisel, E. Purcell Variable kernel estimates of multivariate densities. Technometrics 19. - 1977 . - 135 –144 стр.
4. Cover, T. M. and Hart, P. E. Nearest neighbor pattern classification. IEEE Transactions on Information Theory, 13. - 1967 . - 21 -27 стр.
5. Faraway, J., M. Jhun Bootstrap choice of bandwidth for density estimation. Journal of the American Statistical Association 85.- 1990.-1119–1122 стр.
6. Loader, C.R.Bandwidth selection: Classical or plug-in? Annals of Statistics 27.-1999. - 415–438 стр.
7. Loftsgaarden, D. O., Quesenberry, G. P. A nonparametric estimate of a multivariate density function. Annals of Mathematical Statistics, 36.-1965.-1049-1051 стр.
8. Muller H. G. Weighted local regression and kernel methods for nonparametric curve fitting. Journal of the American Statistical Association, 82.-1987.-231-238 стр.
9. Rudemo, M. Empirical choice of histograms and kernel density estimators. Scandinavian Journal of Statistics 9.-1982. -65–78 стр.
10. Schmidt, G. Mattern, R., Schiiler, F. Biomechanical investigation to determine physical and traumatological differentiation criteria for the maximum load capacity of head and vertebral column with and without protective helmet under effects of impact. EEC Research Program on Biomechanics of Impacts. Final Report Phase III, Project 65, Institut fur Rechtsmedizin, Universitat Heidelberg, West Germany.-1981.- 231-238 стр.
11. Sheather, S., M. Jones A reliable data-based bandwidth selection method for kernel density estimation. Journal of Royal Statistical Society, Series B 53.-1991. - 683–690 стр.
12. Szego, G. Orthogonal polynomials. Amer. Math. Soc. Coll. PubL, 23.-1959.
13. Tukey, J. W. Nonparametric estimation II. Statistically equivalent blocks and tolerance regions. The continuous case. Annals of Mathematical Statistics, 18.-1947. - 529-539 стр.

Див. також

• Ядерне зглажуваня
• Регресійний аналіз