Критерій Фішера
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
| {{{img}}} | ||
| Імя | Володимир | |
| Прізвище | Шостак | |
| По-батькові | Михайлович | |
| Факультет | ФІС | |
| Група | СН-51 | |
| Залікова книжка | СН-11-222 | |
Критерий Фишера применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок. Его относят к критериям рассеяния.
При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием критерия Стьюдента имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более мощным критерием.
В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей. В частности, он используется в шаговой регрессии для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель.
В дисперсионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия.
Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. Перед его применением рекомендуется выполнить проверку нормальности.
Примеры задач
Описание критерия
Заданы две выборки <tex>x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
Обозначим через <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> дисперсии выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_1^2</tex> и <tex>s_2^2</tex> — выборочные оценки дисперсий <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex>:
- <tex>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</tex>;
- <tex>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</tex>,
где
- <tex>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</tex> — выборочные средние выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>.
Дополнительное предположение: выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются нормальными. Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
Нулевая гипотеза <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex>
Статистика критерия Фишера:
- <tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex>
имеет распределение Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы. Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе <tex>H_1'</tex>.
Критерий (при уровне значимости <tex>\alpha</tex>):
- против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex>
- если <tex>F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)</tex> или <tex>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>.
- против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex>
- если <tex>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;
где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-квантиль распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
Література
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
См. также
- Критерий Стьюдента
- Проверка статистических гипотез
- Статистика (функция выборки)
- Нормальный дисперсионный анализ
Ссилки
- Распределение Фишера (Википедия).
- Критерий Фишера (Википедия).Шаблон:Задание
