Особливості планування експериментів
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом.
http://elartu.tstu.edu.ua Презентація доповіді (університетський репозиторій).
Особливості планування експериментів
Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
- Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
- Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
- Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.
Повний факторний експеримент
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в табл. 1 матрицю експерименту.
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
Фактор А |
Фактор В |
|
Рівень 1 |
Рівень 2 |
|
Рівень 1 |
y111 |
y121 |
Рівень 2 |
Y211 |
y221 |
Рівень 3 |
y311 |
y321 |
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
[math]{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,[/math] (1)
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і диспер¬сією σ2, або
[math]{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).[/math] (2)
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
[math]\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,[/math] (3)
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
[math]{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.[/math](4)
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
[math]\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .[/math] (5)
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
[math]\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.[/math] (6)
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
[math]\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}[/math] (7)
Аналогічно
[math]\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}[/math] (8)
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
[math]M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.[/math] (9)
З виразу (9) маємо
[math]{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.[/math] (10)
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то змі¬на фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
[math]\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .[/math] (11)
Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
[math]\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.[/math]
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
[math]M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.[/math] (12)
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект. Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівнян¬ня регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
[math]\begin{align} & {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\ & {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\ & ... \\ & {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\ \end{align}[/math] (13)
яку в матричному вигляді можна записати так:
[math]{Y}=X{\beta }+{e},[/math] (14)
де
[math]{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],[/math] (15)
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:
[math]X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],[/math] (16)
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
[math]{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].[/math] (17)
Вектор помилок:
[math]{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].[/math] (18)
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
[math]\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;[/math](19)
[math]\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.[/math] (20)
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
[math]{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }[/math] (21)
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії. Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.
Факторний план 2k
Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k. Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
[math]{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.[/math]
Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту
Фактор А |
Фактор В |
|
Рівень 1 |
Рівень 2 |
|
Рівень 1 |
y111 |
y121 |
Рівень 2 |
Y211 |
y221 |
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
[math]\begin{align} & {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\ & {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\ & {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\ & {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\ \end{align}[/math] (22)
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
[math]\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};[/math] (23)
[math]\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};[/math] (24)
[math]\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};[/math] (25)
[math]\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};[/math](26)
[math]\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};[/math] (27)
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:
[math]\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}[/math] (28)
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
[math]{Y}=X{\beta }+{e,}[/math] (29)
[math]{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),[/math] (30)
[math]X=\left[ \begin{matrix} +1 & -1 & -1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & +1 & +1 \\ \end{matrix} \right],[/math] (31)
[math]{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),[/math] (32)
[math]{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).[/math] (33)
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
(34)
де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35) З виразу (34) і за умови, що
[math]{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),[/math] (36)
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо
[math]({{X}^{T}}X)=NI,[/math] (37)
де І - одинична матриця. Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
[math]\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},[/math] (38)
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
[math]{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}[/math] (39)
Звідси
[math]{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y[/math] (41)
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
[math]\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.[/math] (42)
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11). Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верх¬ній рівні є лише мнемонічними символами. Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
[math]{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},[/math] (43)
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів () Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).
Дробовий дворівневий факторний експеримент
Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k
Комбінації |
Фактори |
Відгук |
|||
факторів |
А |
В |
|
С |
|
1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
2 |
+1 |
-1 |
|
-1 |
a |
3 |
-1 |
+1 |
|
-1 |
b |
4 |
+ 1 |
+1 |
|
-1 |
ab |
5 |
-1 |
-1 |
|
+ 1 |
с |
6 |
+1 |
-1 |
|
+ 1 |
ас |
7 |
-1 |
+ 1 |
|
+ 1 |
bc |
8 |
+1 |
+1 |
|
+ 1 |
abc |
Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д. Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, як¬що нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k. З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту факто¬ра А обчислюється за формулою
[math]{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{\tfrac{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{\tfrac{N}{2}}.[/math]
(44)
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
[math]{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}[/math]
де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка голов¬ного ефекту фактора s має такий вигляд:
[math]{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).[/math] (45)
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
[math]{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}[/math] (46)
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою
[math]\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}[/math] (47)
де
[math]{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.[/math]
Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.
Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.
[math]D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),[/math]
де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних
Матриця плану D |
Матриця незалежних змінних X |
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
I |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
12 |
|
13 |
|
23 |
|
123 |
– |
– |
|
– |
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
- |
+ |
– |
|
– |
+ |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
– |
|
+ |
|
+ |
– |
+ |
|
– |
+ |
|
– |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
+ |
|
– |
|
+ |
+ |
+ |
|
– |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
– |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
– |
– |
|
+ |
+ |
|
– |
|
– |
|
+ |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
+ |
+ |
– |
|
+ |
+ |
|
+ |
|
– |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
– |
|
– |
– |
+ |
|
+ |
+ |
|
– |
|
+ |
|
+ |
|
– |
|
+ |
|
+ |
|
– |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:
[math]\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}[/math]
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .
Висновки
Список використаних джерел
- Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
- Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
- Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.
- Студент: Користувач:Залецький Михайло
- Виступ відбувся: 17 лютого 2010
- Тема: Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії
