Теорема Жуковського
В основі аеродинаміки як науки закладена теорема Миколи Єгоровича Жуковського, видатного російського вченого, засновника аеродинаміки, яка була сформульована ще в 1904 році. Через рік, у листопаді 1905 року Жуковський виклав свою теорію створення підіймальної сили крила літаючого апарату на засіданні Математичного товариства.
Теорема Жуковського, теорема про підіймальну силу, яка діє на тіло, що знаходиться в плоскопаралельному потоці рідини або газу. Згідно з цією теоремою, підіймальна сила, обумовлена пов'язаними з обтічним тілом вихорами (приєднаними вихорами), причиною виникнення яких є в'язкість рідини. Наявність цих вихорів приводить до обтікання крила потоком з відмінною від нуля циркуляцією швидкості.
[math]Y=\rho \upsilon \Gamma[/math]
Y - підіймальна сила; [math]\rho[/math] - густина; [math]\upsilon[/math] - швидкість руху незбуреного потоку; Г - циркуляція швидкості
[math]\Gamma = \int \upsilon dA[/math]
(dA — елемент контура)
Частина А, що трактує про рух стискуваної рідини (газу), називається газовою динамікою. Явище стисливості характеризують числом Маха [math]M= \upsilon /a[/math]
Якщо сталий плоскопаралельний потенційний потік нестискуваної рідини набігає на нескінченно довгий циліндр перпендикулярно його створюючим, то на ділянку циліндра, що має довжину уздовж створюючої, рівну одиниці, діє підйомна сила Y, дорівнює добутку щільності (середовища на швидкість v потоку на нескінченності і на циркуляцію Г швидкості по будь-якому замкнутому контуру, що охоплює обтічний циліндр, тобто [math]Y=\rho \upsilon \Gamma[/math]. Напрям підйомної сили виходить з напряму вектора швидкості на нескінченності його поворотe на прямий кут проти напряму циркуляції. Теорема Жуковського справедлива і при дозвуковому обтіканні профілю стискуваною рідиною (газом). Для звукової і надзвукових швидкостей обтікання ця теорема в загальному вигляді не може бути доведена.
Теорема Жуковського лягла в основу сучасної теорії крила і гребного гвинта. З її допомогою можуть бути обчислені підйомна сила крила кінцевого розмаху, тяга гребного гвинта, сила тиску на лопатку турбіни і компресора та ін.
Підіймальна сила
Підіймальна сила - складова повної сили тиску рідкого або газоподібного середовища на рухоме в ній тіло, направлена перпендикулярно до швидкості тіла (до швидкості центру тяжіння тіла, якщо воно рухається непоступально). Виникає унаслідок несиметрії обтікання тіла середовищем. Наприклад, при обтіканні крила літака частинки середовища, які оточують нижню поверхню, проходять за такий самий проміжок часу меншу дорогу ніж частинки, оточуючі верхню, більш опуклу поверхню і, отже, мають меншу швидкість. Але, згідно рівняння Бернулі там, де швидкість частинок менша, тиск середовища більший і навпаки. В результаті тиск середовища на нижню поверхню крила буде більший, ніж на верхню, що і приводить до появи піднімальної сили.
Несиметричне обтікання крила можна представити як результат накладення на симетричну течію циркуляційного потоку навколо контуру крила, направленого на більш опуклу частину поверхні у бік течії, що приводить до збільшення швидкості, а на менш опуклою — проти течії, що приводить до її зменшення. Тоді піднімальна сила Y залежатиме від величини циркуляції швидкості [math]\Gamma[/math] і, згідно теоремі Жуковського, для ділянки крила довжиною L, обтічного плоскопаралельним потоком ідеальної нестискуваної рідини, [math]Y=ru\Gamma l[/math], де r — щільність середовища, u — швидкість набігаючого потоку.
Оскільки [math]\Gamma[/math] має розмірність [math]\left [ u\times I \right ][/math], то піднімальну силу можна виразити рівністю [math]Y=c_{B}rSu^{2}/2[/math] зазвичай вживаним, в аеродинаміці де S— величина характерної для тіла площі (наприклад, площа крила), [math]c_{b}[/math] — безрозмірний коефіцієнт піднімальної сили залежний від форми тіла, його орієнтації в середовищі і чисел Рейнольдса [math]Re[/math] і Маху [math]M[/math]. Значення [math]c[/math] в визначають теоретичним розрахунком або експериментально. Так, згідно теорії Жуковського, для крила в плоскопаралельному потоці [math]Вставте сюди формулу[/math], де [math]a[/math] — кут атаки (кут між напрямом швидкості набігаючого потоку і хордою крила), a [math]0[/math] — нульовий кут піднімальної сили, m — коефіцієнт, залежний лише від форми профілю крила, наприклад, для тонкої зігнутої пластини [math]m=p[/math] . В разі кінцевого розмаху / крила коефіцієнт [math]m=p/(1-2/I)[/math], де [math]I=I^{2}/S[/math] — подовження крила.
В реальній рідині в результаті впливу в'язкості величина [math]m[/math] менш теоретична, причому ця різниця зростає у міру збільшення відносної товщини профілю; значення кута [math]a_{0}[/math] також менш теоретичного. Крім того, із збільшенням кута [math]a[/math] залежність [math]c[/math] в від [math]a[/math], перестає бути лінійною і величина [math]dc_{B}/d_{a}[/math] монотонно убуває, стаючи рівною нулю при куті атаки [math]a[/math]кр , якому відповідає максимальна величина коефіцієнта піднімальної сили. — [math]c_{y; max}[/math]. Подальше збільшення [math]a[/math] веде до падіння [math]c_{B}[/math] унаслідок відриву пограничного шару від верхньої поверхні крила. Величина [math]c_{y; max}[/math] має істотне значення, отже, чим вона більша, тим менша швидкість зльоту і посадки літака.
