Розкладання дисперсії на складові
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
Розглянемо задачу розкладання дисперсії як характеристики коливальності (розкиду, розсіювання, зміни) на простому абстрактному прикладі.
Нехай вимірювана величина [math]y[/math] набувала в [math]N[/math] дослідах таких значень [math]y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N[/math], які характеризуються деякими середніми [math]\overline{y}[/math] та оцінкою дисперсії [math]S_y^2[/math]. Відкладемо результати вимірювань [math]y[/math] на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на [math]y[/math] фаторів [math]x[/math].
Відрізком довжиною [math]S_y[/math] зобразимо показник загального розкиду значення [math]y[/math] (скористатися дисперсією [math]S_y^2[/math] не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю [math]y[/math]). Припустимо, що одночасно з [math]y[/math] реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на [math]y[/math]. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень [math]y[/math] і [math]x[/math] зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання [math]y[/math] зі збільшенням [math]x[/math]. Однак говорять лише про зміни [math]y[/math] у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад [math]y_1\gt y_5[/math], хоча [math]y_5[/math] відповідає більшому [math]x[/math]. Ішими словами, кожному [math]x_i[/math] відповідає середнє [math]y_i[/math], яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями [math]y[/math]. Умовні середні [math]y_i[/math] зображено на рис. 3. Розглядаючи [math]\overline{y_i}[/math] як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього [math]\overline{y_i}[/math]. Охарактеризуємо цей розкид величиною [math]S^2_y/x[/math], яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх [math]\overline{y_i}[/math] від загального середнього [math]\overline{y}[/math].
Природно, що від
