Особливості планування експериментів

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Mars Викладач: Назаревич О.Б. Термін до: 17 лютого 2010 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом.

http://elartu.tstu.edu.ua Презентація доповіді (університетський репозиторій).

Особливості планування експериментів

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.

1. Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
2. Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
3. Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.

Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

Повний факторний експеримент

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в табл. 1 матрицю експерименту.

Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту

Фактор А	Фактор В
	Рівень 1	Рівень 2
Рівень 1	y111 y112	y121 y122
Рівень 2	Y211 y212	y221 y222
Рівень 3	y311 y312	y321 y322

У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:

[math]{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,[/math] (1)

де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і диспер¬сією σ2, або

[math]{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).[/math] (2)

Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:

[math]\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta \centerdot \centerdot ,[/math] (3)

де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу. Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то

[math]{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.[/math](4)

Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:

[math]\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta \centerdot .[/math] (5)

З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що

[math]\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.[/math] (6)

Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як

[math]\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta \centerdot -\eta \centerdot \centerdot .}[/math] (7)

Аналогічно

[math]\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}[/math] (8)

Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:

[math]M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.[/math] (9)

З виразу (9) маємо

[math]{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.[/math] (10)

Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А. Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то змі¬на фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як

[math]\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i\centerdot }}-{{\eta }_{\centerdot j}}+\eta \centerdot \centerdot .[/math] (11)

Список використаних джерел

1. Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
3. Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

Студент: Користувач:Залецький Михайло

Виступ відбувся: 17 лютого 2010

Тема: Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії