Рівняння нерозривності

В гідрогазодинаміці в багатьох випадках можна знехтувати стисливістю рідин і газів. Тому використовують єдиний підхід до вивчення їх поведінки, користуючись єдиним поняттям нестисливої рідини - суцільного середовища з однаковою в усіх точках густиною, яка не змінюється з часом. Це своєрідна модель ідеальної рідини, в якій не враховується наявне в рідині внутрішне тертя.

Елементарний об`єм в 3D

Спираючись на закон збереження маси, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь Ейлера.
Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм.

[math]p\cdot V\cdot dx\cdot dy[/math] - маса рідини, яка витікає з грань [math]\textbf{\textit{xz}}[/math].

[math][pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz[/math] - маса рідини, яка витікає з [math]\textbf{\textit{xz}}[/math]:

[math]\frac{\partial(pV)}{dy}[/math] - приріст [math]\textbf{\textit{pV}}[/math]

Приклад

В умовах плоского руху нестисливої рідини відомо ,що Ux=ax;a і b –постійні величини.Потрібно вияснити ,при яких умовах ці рівняння руху задовольняють умовам нерозривності , тобто рівнянням [math]\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} z}[/math] без останнього члена.

Розв’язання Оскільки dUx/dx=a;dUy/dy=b,то підставляючи ці значення в рівняння нерозривності ,бачимо,що воно перетворюється в нуль при a=-b.

Загальний вигляд

Вздовж осі [math]\textbf{\textit{Oy}}[/math] маса рідини змінилася на величину:

[math]\begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}[/math]

Приріст маси:

[math][\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz[/math]

З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини

[math]dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz[/math]

Кінцева формула

Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів

[math]\frac{\partial(\rho U)}{dx}+\frac{\partial(\rho V)}{dy}+\frac{\partial(\rho W)}{dz}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}[/math]

[math]\frac{\partial \rho }{\partial t} + div \rho V[/math] за умови, що [math]p\neq const[/math].

Припустимо [math]p=const[/math], тоді рівняння нерозривності

[math]div \vec{V}=0[/math]

[math]\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0[/math]

Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій.

Література

Милн-Томсон Л. М. «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б.Ф Левицький\Н.П.Лещій 1994р.