Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Syrotiuk Викладач: Назаревич О.Б. Термін до: 28 лютого 2010 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби

 http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/372 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

Планування експерименту при дисперсійному аналізі

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається повним факторним експериментом (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається подрібнений факторний експеримент (ДФЕ) [1].
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне. Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

Латинські квадрати

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.

Рис.1 - Латинський квадрат 3х3

Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

Дисперсійний аналіз латинського квадрату

При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3 суми по стрічках:

[math]{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}[/math]

Метод Гаусса-Зейделя

Суть методу Гаусса-Зейделя полягає у послідовному просуванні до екстремуму, яке здійснюється шляхом почергового варіювання кожним із параметрів до досягнення часткового екстремуму вихідної величини. Інакше кажучи, робоча точка [math]x[/math] пересувається поперемінно вздовж кожної із координатних осей [math]{{x}_{i}};i=1,2,...,n[/math] факторного простору, причому перехід до нової [math]\left( i+1 \right)[/math]-ї координати здійснюється після досягнення часткового екстремуму цільової функції [math]y=(\overrightarrow{x})[/math] на попередньому напрямі, тобто в точці [math]{{x}_{i0}}[/math], де

<center>[math]\frac{\partial y\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{i0}},...,{{x}_{n}} \right)}{\partial x}=0.[/math]

Досягнувши часткового екстремуму по останній координаті [math]{{x}_{n}}[/math], переходять знову до варіювання першої і т. д. Таким чином, характерною особливістю методу є необхідність тривалої стабілізації всіх факторів (параметрів процесу), крім одного, за яким відбувається рух. Напрям руху уздовж [math]\left( i+1 \right)[/math] -ї координатної осі обирається за результатами двох пробних експериментів, які полягають у вимірюванні відклику [math]y(\overrightarrow{{{x}_{i+1;1}}})[/math] і [math]y(\overrightarrow{{{x}_{i+1;2}}})[/math] в околі базової точки [math]{{x}_{i,0}}[/math], тобто точки часткового екстремуму за попередньою [math]i[/math]-змінною. Викладені загальні міркування ілюструються на прикладі двофакторної задачі (рис. 4). Тут цифрами 10, 20, 30 позначено лінії рівного рівня вихідного параметра [math]y[/math] в деяких відносних одиницях.

Рис.4 - Застосування методу Гауса-Зейделя при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі

При практичному використанні методу Гаусса-Зейделя для оптимізації двофакторного процесу, бажана така послідовність операцій:
1) визначається початкова точка [math]{{x}_{0}}[/math] руху до оптимуму. В реальних умовах вона відповідає прийнятому технологічному режиму, висівному регламенту або раціону годівлі;
2) задається крок варіювання [math]\Delta {{x}_{i}}[/math] по кожній незалежній змінній [math]{{x}_{i}}(i=1,2,...)[/math];
3) здійснюється пробний рух з центром у початковій точці для з’ясування напрямку руху в першому робочому циклі (вздовж осі [math]{{x}_{1}}[/math]). З цією метою з базової точки [math]{{x}_{0}}[/math] варіацією параметра [math]{{x}_{1}}[/math] на [math]\Delta {{x}_{1}}[/math] і [math]-\Delta {{x}_{1}}[/math] виконуються два пробних кроки в точці (при [math]n=2[/math]):

[math]\overrightarrow{{{x}_{1,1}}}=({{x}_{1}}-\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}})[/math] та [math]\overrightarrow{{{x}_{1,2}}}=({{x}_{1}}+\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}).[/math]

Проводиться однократне вимірювання відклику [math]y(\overrightarrow{{{x}_{1,g}}}),g=1,2,...[/math];
4) здійснюється порівняння значень відклику у пробних точках і його результати виражаються за допомогою функції

[math]\varphi =\sgn \left[ y(\overrightarrow{{{x}_{1,2}}})-(\overrightarrow{{{x}_{1,1}}}) \right];[/math]

5) здійснюється перший цикл робочого руху (з тим же кроком [math]\Delta {{x}_{1}}[/math]) в напрямку зростання цього відклику. Нові координати точки дорівнюватимуть:

[math]\begin{align} & \overrightarrow{{{x}_{1,3}}}=({{x}_{1}}+2\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\ & \overrightarrow{{{x}_{1,4}}}=({{x}_{1}}+3\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\ & \overrightarrow{{{x}_{1,l}}}=({{x}_{1}}+(l-1)\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\ & \overrightarrow{{{x}_{1,l+1}}}=({{x}_{1}}+\varphi l\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}). \\ \end{align}[/math]

6) проводиться вимірювання значень відклику після кожного робочого кроку

[math]y(\overrightarrow{{{x}_{1,3}}}),y(\overrightarrow{{{x}_{1,4}}}),...,y(\overrightarrow{{{x}_{1,l}}}),y(\overrightarrow{{{x}_{1,l+1}}});[/math]

7) припиняється перший цикл крокового руху після досягнення у деякій точці [math]\overrightarrow{{{x}_{1,i}}}[/math] часткового екстремуму цільової функції по відповідній змінній

[math]\frac{\partial y(\overrightarrow{{{x}_{i,l}}})}{\partial {{x}_{i}}}=0.[/math]

Критерієм зупинки є виконання рівності [math]y({{x}_{i,l+1}})\lt y({{x}_{i,l}})[/math].
8) точка [math]\overrightarrow{{{x}_{i,l}}}[/math] є вихідною для нових пробних експериментів у точках

[math]\begin{align} & \overrightarrow{{{x}_{2,l+2}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}-\Delta {{x}_{2}}); \\ & \overrightarrow{{{x}_{2,l+3}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}+\Delta {{x}_{2}}). \\ \end{align}[/math]

Якщо у пробному русі по [math]i[/math]-й змінній обидва кроки були невдалими [math]y({{x}_{i,l\pm k}})\lt y({{x}_{i,l}})[/math], то переходять до варіювання наступним [math](i+1)[/math] параметром
9) в подальшому процедура є аналогічною до описаних вище. Після закінчення другого циклу переходять до третього (знову по осі [math]{{x}_{1}}[/math]) і т.д.
Пошук припиняється в деякій точці [math]\overrightarrow{{{x}_{m}}}[/math], подальший будь-який рух від якої призводить до зменшення (якщо досягнуто мінімуму – до збільшення) значення вихідного параметра. З точністю до максимального кроку варіювання [math]{{(\Delta {{x}_{i}})}_{\max }}[/math] це і буде точка екстремуму цільової функції.
До недоліків методу варто віднести те, що процедура пошуку оптимуму є досить тривалою, особливо у випадку, коли є багато факторів (змінних в моделі досліджуваного процесу). Також можливі деякі труднощі при пошуку оптимуму, зумовлені особливостями цільової функції. Тому досить часто обмежуються почерговим однократним варіюванням по кожній із змінних. Метод широко використовується у прикладних дослідженнях. Наприклад, при розв’язуванні систем рівнянь типу:

[math]\left\{ \begin{align} & {{a}_{11}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{1n}}{{x}_{1}}={{b}_{1}}; \\ & ... \\ & {{a}_{n1}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{nn}}{{x}_{n}}={{b}_{n}}. \\ \end{align} \right.[/math]

Або ж для знаходження оптимуму таких функцій, як:

[math]f(\mathop{x}_{1},\mathop{x}_{2})=10\mathop{x}_{1}^{2}+2\mathop{\left( \mathop{x}_{2}-5 \right)}^{2},[/math]

[math]f(\mathop{x}_{1},\mathop{x}_{2})=3\mathop{\left( \mathop{x}_{1}+1 \right)}^{2}+2\mathop{\left( \mathop{x}_{2}-5 \right)}^{2},[/math]

[math]f(\mathop{x}_{1},\mathop{x}_{2},\mathop{x}_{3})=3+2\mathop{x}_{1}+\mathop{x}_{2}+\mathop{x}_{1}^{2}+2\mathop{\mathop{x}_{2}}^{2}+\mathop{x}_{1}\mathop{x}_{2}+5\mathop{x}_{3}[/math]

Метод крутого сходження (Бокса-Уілсона)

Метод крутого сходження, або метод Бокса-Уілсона, поєднує істотні елементи методу Гауса-Зейделя і градієнтного методу з методами повнофакторного і дробового факторного експерименту. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки [math]\overrightarrow{{{x}_{k}}}[/math] здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по [math]grad(\overrightarrow{{{x}_{k}}})[/math]. Тобто, у факторному просторі знаходиться напрямок, в якому найшвидше зростає (спадає у випадку пошуку мінімуму) вихідний параметр досліджуваного об’єкта. Проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці [math]\overrightarrow{{{x}_{m}}}[/math] на даному напрямку часткового екстремуму цільової функції (рис. 5), аналогічно методу Гаусса-Зейделя.

Рис.5 - Застосування методу крутого сходження при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі

Визначити наперед найкращий розмір робочого кроку пересування у факторному просторі дуже складно, адже він визначається кривизною поверхні відклику і точність визначення функції відклику. Важливою особливістю методу Бокса-Уілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму.
Будується лінійна модель досліджуваного об’єкта:

[math]y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.[/math]

Оскільки координатами вектора [math]grady(\overrightarrow{x})=\left( \frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}},\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}},...,\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}} \right)[/math] є коефіцієнти при лінійних членах розкладу функції [math]y(\overrightarrow{x})[/math] в ряд Тейлора по ступенях [math]{{x}_{i}}(i=1,2,...,n)[/math], то відповідні компоненти вектора градієнта можуть бути утворені як коефіцієнти [math]{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}[/math] лінійної апроксимації поверхні відклику поблизу вихідної точки [math]\overrightarrow{x}[/math]:

[math]y\cong {{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+{{b}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.[/math]

Найпростішим способом знаходження оцінок кожного із коефіцієнтів [math]{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}[/math] є їх знаходження за результатами пробних рухів з точки [math]\overrightarrow{{{x}_{k}}}[/math]. Для цього по кожній координаті роблять два пробних кроки, довжиною [math]\rho[/math], в точки [math]{{x}_{i}}-\rho[/math] та [math]{{x}_{i}}+\rho[/math]. Решту координат фіксують незмінними, що відповідає точці [math]\overrightarrow{{{x}_{k}}}[/math]. За результатами вимірювань функції відклику [math]{{y}_{1}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}+\rho ,...,{{x}_{kn}})[/math] та [math]{{y}_{2}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}-\rho ,...,{{x}_{kn}})[/math] в утворених точках знаходять відповідні коефіцієнти

[math]{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{\Delta {{x}_{i}}}.[/math]

Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий (рис. 5):
1) проводиться повний або дробовий факторний експеримент з центром у вихідній точці [math]\overrightarrow{{{x}_{0}}}[/math] для визначення [math]grady(\overrightarrow{{{x}_{0}}})[/math]. Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:
а) перевірку відтворюваності експерименту;
б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів [math]{{b}_{i}}[/math] лінійної моделі об'єкта;
в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі

[math]y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}[/math]

досліджуваному об'єкту;
2) обчислюються добутки [math]{{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}}[/math], де [math]\Delta {{x}_{i}}[/math] – крок варіювання параметра [math]{{x}_{i}}[/math] при проведенні повнофакторного експерименту, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий

[math]\max ({{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}})={{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}};[/math]

3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні [math]\rho[/math], залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;
4) визначаються розміри [math]{{\rho }_{i}}[/math] за рештою змінних процесу [math]{{x}_{j}}(j\ne i)[/math]. Оскільки під час руху по градієнту варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам [math]{{b}_{j}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}[/math], які є компонентами вектора [math]grady(x)[/math], то відповідні [math]{{\rho }_{j}}[/math] знаходяться за формулою

[math]{{\rho }_{j}}=\frac{{{b}_{j}}\Delta {{x}_{j}}}{\left| {{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}} \right|}\rho ,[/math]

де [math]\rho[/math] і [math]\Delta {{x}_{j}}[/math] завжди додатні, а коефіцієнт [math]{{b}_{j}}[/math] береться із своїм знаком;
5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу [math]{{y}_{zawb .k}}(\overrightarrow{{{x}_{k}}})[/math] у певних точках [math]\overrightarrow{{{x}_{k}}}[/math] факторного простору (рис. 6). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням [math]{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}[/math] таким чином, щоб зображуюча точка [math]\overrightarrow{x}[/math] виконувала кроковий рух у напрямку вектора [math]grad(\overrightarrow{{{x}_{1}}})[/math], утвореного в п. 1, займаючи послідовно положення [math]\overrightarrow{{{x}_{1}}},\overrightarrow{{{x}_{2}}},...,\overrightarrow{{{x}_{k}}},...,\overrightarrow{{{x}_{m}}};[/math].
6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність

[math]{{y}_{zawb .k}}\le (1..2){{y}_{\max }},[/math]

де [math]{{y}_{\max }}[/math] - максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;
7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2 — 3 кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережувані значення [math]{{y}_{spost}}[/math] порівнюються із завбаченими [math]{{y}_{zawb}}[/math] (рис. 5);
8) точка [math]\overrightarrow{{{x}_{m}}}[/math], де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;
9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу (робочу) точку до області екстремуму [math]y(\overrightarrow{x})[/math], де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу [math]\rho[/math] береться рівним або меншим попереднього;
10) пошук припиняється, коли всі коефіцієнти [math]{{b}_{i}}(i=1,2,...,n)[/math] лінійної моделі об'єкта виходять незначущими (коли модуль градієнта стає малою величиною [math]grady(x)\cong 0[/math]). Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.
Метод крутого сходження застосовується, зокрема, при побудові та дослідженні моделей процесів збагачення корисних копалин та ін. технологічних процесів, при гідродинамічних дослідженнях газліфтних нафтових свердловин.

Перелік використаних джерел

1. Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..
2. Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский Планирование єксперимента при поиске оптимальних условий. Программированное введение в планирование эксперимента.:М. Наука 1971 г.
3. http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Гауса_—_Зейделя – Метод Гауса — Зейделя (січень 2010)
4. http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Бокса_—_Вілсона – Метод Бокса — Вілсона (січень 2010)