Відмінності між версіями «Особливості планування експериментів»
Mars (обговорення • внесок) |
Mars (обговорення • внесок) |
||
| Рядок 30: | Рядок 30: | ||
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в табл. 1 матрицю експерименту. | Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в табл. 1 матрицю експерименту. | ||
| + | |||
| + | Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту | ||
| + | ////////////////////////// | ||
| + | |||
| + | У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math> (1) | ||
| + | |||
| + | де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і диспер¬сією σ2, або | ||
| + | |||
| + | <math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math> (2) | ||
| + | |||
| + | Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta \centerdot \centerdot ,</math> (3) | ||
| + | |||
| + | де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу. | ||
| + | Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то | ||
| + | |||
| + | <math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>(4) | ||
| + | |||
| + | Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім: | ||
| + | |||
| + | <math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta \centerdot .</math> (5) | ||
| + | |||
| + | З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що | ||
| + | |||
| + | <math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math> (6) | ||
| + | |||
| + | Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як | ||
| + | |||
| + | <math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta \centerdot -\eta \centerdot \centerdot .}</math> (7) | ||
| + | |||
| + | Аналогічно | ||
| + | |||
| + | <math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math> (8) | ||
| + | |||
| + | Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту: | ||
| + | |||
| + | <math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math> (9) | ||
| + | |||
| + | З виразу (9) маємо | ||
| + | |||
| + | <math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math> (10) | ||
| + | |||
| + | Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А. | ||
| + | Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то змі¬на фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як | ||
| + | |||
| + | <math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i\centerdot }}-{{\eta }_{\centerdot j}}+\eta \centerdot \centerdot .</math> (11) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
Версія за 19:26, 24 лютого 2010
|
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом.
http://elartu.tstu.edu.ua Презентація доповіді (університетський репозиторій).
Особливості планування експериментів
Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
- Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
- Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
- Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.
Повний факторний експеримент
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в табл. 1 матрицю експерименту.
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту //////////////////////////
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
[math]{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,[/math] (1)
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і диспер¬сією σ2, або
[math]{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).[/math] (2)
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
[math]\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta \centerdot \centerdot ,[/math] (3)
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу. Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
[math]{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.[/math](4)
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
[math]\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta \centerdot .[/math] (5)
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
[math]\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.[/math] (6)
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
[math]\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta \centerdot -\eta \centerdot \centerdot .}[/math] (7)
Аналогічно
[math]\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}[/math] (8)
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
[math]M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.[/math] (9)
З виразу (9) маємо
[math]{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.[/math] (10)
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А. Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то змі¬на фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
[math]\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i\centerdot }}-{{\eta }_{\centerdot j}}+\eta \centerdot \centerdot .[/math] (11)
Факторний план 2k
Дробовий дворівневий факторний експеримент
Висновки
Список використаних джерел
- Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
- Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
- Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.
- Студент: Користувач:Залецький Михайло
- Виступ відбувся: 17 лютого 2010
- Тема: Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії
