Потенціальна течія

У гідродинаміці потенціальний потік характеризується відсутністю вихрового руху, де швидкість визначається як функція одного аргументу – потенціалу швидкості. Поступальний рух рідини в якому елементарні частинки не мають обертальних рухів називають безвихровим (потенціальним) і описують потенціалом швидкості. Умовою безвихрового потенціального потоку є rot V=0 – ротор поля в будь-якій точці дорівнює нулю. Безвихрового руху в природі не буває оскільки при русі рідини вздовж твердих кордонів утворюються вихори. Якщо вважати, що вся завихреність в локальних зонах то, можна припустити, що в решті потоку рух буде безвихровим.

Коли ефект в’язкості є незначним, наприклад при великих числах Рейнольдса, де домінує конвективний перенос імпульсу, коли здійснюється аналіз зовнішніх потоків над твердою поверхнею і потік далі залишається ламінарним, коли прикордонний шар з твердим тілом дуже тонкий у розрахунках використовують явище Потенціального потоку.

По своїй суті явище Потенціального потоку є ідеалізацією руху рідини але в окремих випадках це припущення має важливе практичне значення і значно полегшує розрахунок основних характеристик руху.

Потенціал швидкостей

Поняття потенціалу швидкості було введено Л.Ейлером. При безвихровому русі

[math]{\omega _{\rm{x}}} = {\omega _{\rm{y}}} = {\omega _{\rm{z}}} = 0[/math], (1)

де ω – кутова швидкість; [math]{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}[/math] – проекції вектора кутової швидкості.

Відомо що при вихровому русі частинка рідини, так само як і тверде тіло, обертається з кутовою швидкістю [math]\omega {\rm{ }}({\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}})[/math] відносно деякої миттєвої осі. Величини [math]{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}[/math] виражають міру обертання рідини і становлять компоненти так званої вихрової швидкості.

Якщо б частинка була твердою і оберталась довкола миттєвої осі з кутовою швидкістю ω то з теоретичної механіки відомо, що проекції вектора кутової швидкості становили б

[math]{\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right)[/math]; [math]{\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right)[/math]; [math]{\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right)[/math], (2)

де [math]{u_x},{u_y},{u_z}[/math] – компоненти швидкості зафіксованої частинки рідини.

Як зазначалось вище при потенціальному потоці частинки рідини переміщаються без обертання, тобто кутова швидкість ω і всі її компоненти дорівнюють 0 (1). Тоді вирази (2) можна записати у вигляді

[math]{\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right) = 0[/math]; [math]{\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right) = 0[/math]; [math]{\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right) = 0[/math] (3)

що рівносильно

[math]\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial y}=\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial x}[/math]; [math]\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial x}=\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial z}[/math]; [math]\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial z}=\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial y}[/math]. (4)

При виконанні умови (1) під час стаціонарного руху рідини існує певна функція координат φ(x, y, z), а при нестаціонарному – функція координат і часу φ(x, y, z, t), яка описує такий рух.

Із теорії криволінійних інтегралів відомо, що співвідношення (4) є необхідними і достатніми умовами для того, щоб рівняння [math]{u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz[/math] представляло собою повний диференціал функції трьох змінних φ(x, y, z). Таким чином,

[math]{u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz = d\varphi [/math]. (5)

Якщо повний диференціал функції φ має вигляд

[math]d\varphi = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}dy + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}dz[/math] (6)

співставляючи вирази (5) і (6) можна отримати

[math]{u_x} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}[/math]; [math]{u_y} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}[/math]; [math]{u_z} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}[/math]. (7)

Місцева або локальна швидкість

[math]u = \sqrt {{u_x}^2 + {u_y}^2 + {u_z}^2} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right)}^2}} [/math]. (8)

Тобто, швидкість у кожній точці визначається через функцію φ(x, y, z), яка називається потенціалом швидкості. Оскільки безвихровий потік описується потенціалом швидкості, то його називають потенціальним потоком.

Також прийнятна форма написання формул (5) і (7) із знаком мінус перед потенціалом φ, щоб показати що рух відбувається від точки з великим значенням потенціалу швидкості до точки із меншим його значенням. Усі співвідношення справедливі також і для нестаціонарного руху. В цьому випадку їх можна примінити до будь-якого фіксованого моменту часу, який буде грати роль параметра, і, відповідно, φ = φ(x, y, z, t). Таким чином, потенціальний потік може бути стаціонарним і нестаціонарним.

Проекції швидкості при потенціальному русі мають задовільняти не тільки (7) але й рівняння нерозривності нестисливих рідин (9)

[math]\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial z}=0[/math]. (9)

Підставивши рівняння (7) у диференціальне рівняння нерозривності (9) отримуємо

[math]\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right)=0[/math]

або

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{z}^{2}}}=0[/math]. (10)

Рівняння (10) називають рівнянням Лапласа. Якщо використати оператор Лапласа

[math]\Delta = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}[/math],

то замість рівняння (10) можна записати

[math]\Delta \varphi = 0[/math]. (11)

Отже, потенціал швидкості задовольняє рівняння Лапласа.

Для двовимірного потоку рідини

[math]\Delta \varphi = \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} = 0[/math]. (12)

Відомо, що для опису руху рідини необхідно знати значення [math]{u_x},{u_y},{u_z}[/math] і тиск Р у всіх точках простору, де відбувається опис рідини. Для цього необхідно мати чотири рівняння: три (7) і рівняння нерозривності (9). Рівняння Лапласа (10) включає в себе всі вказані чотири рівняння. Тому, розв’язавши рівняння Лапласа для даного руху рідини при заданих умовах на кордонах даної однорідної області, повністю опишемо відповідний до цих умов потенціальний потік.

Так як рівняння Лапласа лінійне, то сума двох його часткових рішень [math]{{\varphi }_{1}}[/math] і [math]{{\varphi }_{2}}[/math] буде також рішенням цього рівняння. Тому потенціал швидкості підлягає законам суперпозиції потенціальних потоків, або методам накладання потоків: потенціальні потоки нестисливої рідини можна складати; потенціали швидкостей і функції течії складаються при цьому алгебраїчно, а вектори швидкостей у відповідних точках – геометрично. Знаючи потенціали швидкості для деяких видів потенціального руху і застосовуючи принцип суперпозиції можна знаходити рішення для більш складних випадків руху.

Якщо є ряд потенціальних потоків з потенціалами швидкостей [math]{\varphi _1},{\rm{ }}{\varphi _2}, \ldots ,{\rm{ }}{\varphi _n}[/math], то згідно з цим методом результативне значення потенціалу швидкості φ дорівнює алгебраїчній сумі [math]{\varphi _1},{\rm{ }}{\varphi _2}, \ldots ,{\rm{ }}{\varphi _n}[/math], тобто

[math]\varphi = {\varphi _1} + {\varphi _2} + \ldots + {\varphi _n}[/math]. (13)

Швидкість у довільній точці такого потенціального потоку визначається геометричною сумою швидкостей поодиноких простих потоків

[math]\vec{u}=\vec{{{u}_{1}}}+\vec{{{u}_{2}}}+\cdots +\vec{{{u}_{n}}}[/math]. (14)

Принцип суперпозиції дозволяє, сумуючи найпростіші течії, потенціали швидкостей для яких наперед відомі, отримувати більш складні течії, які наближено відтворюють реальні потоки в каналах, проточних частинах машин і т.д. Особливо ефективно метод накладання використовується для розв’язання плоских (двовимірних) задач.

Додаткові приклади потенціональних потоків: зовнішнє поле потоку навколо крила і виникнення підіймальної сили, хвилі на воді, електроосмотичний потік і потік підземних вод, акустика, обтікаючий потік.

Функція течії

При усталеному русі існує функція ψ(x,y)=C, яка характеризується тим, що компоненти швидкості [math]{{u}_{x}}[/math] і [math]{{u}_{y}}[/math] визначаються по x i y наступним чином

[math]{{u}_{x}}=\frac{\partial \psi }{\partial y}[/math]; [math]{{u}_{y}}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}[/math]. (15)

Кожному значенню сталої С відповідає конкретна лінія течії. Якщо задавати різні значення для постійної С, то одержимо рівняння сім’ї ліній течії. Функцію ψ(x,y) називають функцією течії. Функція течії ψ(x,y) є постійною не у всіх точках площини, а тільки на лініях течії.

Між функціями φ(x,y) і ψ(x,y) існує аналітичний зв’язок. Його можна встановити якщо порівняти рівняння (7) і (15). В результаті матимемо

[math]\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}[/math]; [math]\frac{\partial \varphi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}[/math]. (16)

Ці умови називаються умовами Коші-Рімана. Обидві функції φ(x,y) і ψ(x,y) задовільняють рівняння Лапласа і є гармонічними. Дійсно, диференціюючи першу з умов (16) по y, а другу по х, знаходимо, що

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{y}^{2}}}=\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial y\partial x}[/math]; [math]\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{x}^{2}}}=\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial x\partial y}[/math].

Склавши ці рівності одержимо

[math]\Delta \psi =\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{y}^{2}}}=0[/math]. (17)

Функції φ(x,y) і ψ(x,y) є спряженими, і одну з них завжди можна виразити через іншу.

З умов Коші-Рімана (Даламбера-Ейлера) після перемноження відповідно лівих і правих частин системи (16) випливає така залежність

[math]\frac{\partial \varphi \partial \psi }{\partial x\partial x}+\frac{\partial \varphi \partial \psi }{\partial y\partial y}=0[/math]. (18)

Ця залежність є умовою ортогональності лінії φ=const i ψ=const. Отже функції φ(x,y) і ψ(x,y) є взаємно ортогональними. Тобто, потік відбувається вздовж лінії постійного ψ і під прямим кутом до лінії постійного φ. Таким чином, лінії течії і лінії рівного потенціалу утворюють так звану гідродинамічну сітку руху, яка повністю визначає кінематичну картину самого руху.

Щоб побудувати точну гідродинамічну сітку за заданих умов, необхідно розв’язати рівняння Лапласа (12) і (17). У ряді випадків розв’язання досягається з допомогою теорії функцій комплексного змінного (метод комформних перетворень). Є також способи наближеної побудови гідродинамічної сітки руху.