Сопла Лаваля

Схема течії в соплі Лаваля

Сопло Лаваля — технічне пристосування, яке служить для прискорення газового потоку, що проходить по ньому до швидкостей, що перевищують швидкість звуку. У найпростішому випадку сопло представляє собою циліндричний або конічний патрубок (насадок), один кінець якого приєднаний до джерела рідини чи газу, а з іншого виходить сформований струмінь.

Принцип дії

Сопло Лаваля‎

Сопло Лаваля – це комбіноване сопло, яке спочатку звужується, а після розширюється. В самому вузькому місці(найменше січення) завжди встановлюється критична швидкість [math]{\omega _{2kp}}[/math] і максимальна витрата.В розширюючій частині при постійній витраті [math]{m_{\max }}[/math] швидкість зростає, а її величина визначається з рівняння (1):

[math]{\omega _2} = \sqrt {2\frac{k}{{k - 1}}} {P_1}{V_1}\left[ {1 - {{\left( {\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}}} \right)}^{\frac{{k - 1}}{k}}}} \right][/math] - швидкість потоку

Сопло використовується для раціонального використання енергії потоку при умові, що [math]\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} \triangleleft {\beta _{kp}}[/math]. Розміри сопла визначаються з рівняння (2) у випадку коли відома витрата m. Спочатку знаходимо площу мінімального січення сопла і його діаметр.

Довжина розширюючої частини визначається:

[math]l = \frac{{D - d}}{{2tg\frac{\alpha }{2}}}[/math], де

• D – діаметр вихідного січення;
• d – мінімальний діаметр сопла (у найвужчій частині);
• α - кут конусності, який вибирають з умови неперервності потоку;
• α=10-12°

Феномен прискорення газу до надзвукових швидкостей в соплі Лаваля був виявлений в кінці XIX ст. експериментальним шляхом. Пізніше це явище знайшло теоретичне пояснення в рамках газової динаміки.

При наступному аналізі перебігу газу в соплі Лаваля приймаються наступні допущення:

• Газ вважається ідеальним.
• Газовий потік є ізоентропним (тобто має постійну ентропію, сили тертя і дисипативні втрати не враховуються) і адіабатичним (тобто теплота не підводиться і не відводиться).
• Газова течія є стаціонарним і одновимірним, тобто в будь-якій фіксованій точці сопла всі параметри потоку постійні в часі і змінюються тільки уздовж осі сопла, причому у всіх точках обраного поперечного перерізу параметри потоку однакові, а вектор швидкості газу всюди паралельний осі симетрії сопла.
• Масова витрата газу однакова у всіх поперечних перерізах потоку.
• Вісь симетрії сопла є просторовою координатою.

Ставлення локальної швидкості [math]\,v[/math] до локальної швидкості звуку [math]\, C[/math] позначається числом Маха, яке також розуміється місцевим, тобто залежним від координати [math]\, x[/math]:

[math]M = \frac{v}{C}[/math]    (3)

З рівняння стану ідеального газу слідує:[math]\frac{dp}{d\rho}=C^2[/math], тут [math]\,\rho[/math] - локальна щільність газу, [math]\, p[/math] - локальне тиск. З урахуванням цього, а також з урахуванням стаціонарності і одномірності потоку рівняння Ейлера набуває вигляду:

[math]v\frac{dv}{dx} = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{dx} = - \frac{1}{\rho}\cdot \frac{dp}{d\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} = - \frac{C^2}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx}[/math],

що, враховуючи (3), перетворюється в [math]\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} = -M^2\cdot \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx}[/math].     (4)

Рівняння (4) є ключовим у даному міркуванні. Розглянемо його в такій формі:

[math]\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx} / \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -M^2[/math]     (4.1)

Величини [math]\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dx}[/math] и [math]\frac{1}{v} \frac{dv}{dx}[/math] характеризують відносну ступінь змінності по координаті [math]\,x[/math] щільності газу і його швидкості відповідно. Причому рівняння (4.1) показує, що співвідношення між цими величинами рівне квадрату числа Маха (знак мінус означає протилежну спрямованість змін: при зростанні швидкості щільність убуває). Таким чином, на дозвукових швидкостях [math]\,(M\lt 1)[/math] щільність змінюється в меншій мірі, ніж швидкість, а на надзвукових [math]\,(M\gt 1)[/math] - навпаки. Як буде видно далі, це і визначає звужуючу-розширюючу форму сопла.

Оскільки масова витрата газу постійна:

[math]\rho\cdot v\cdot A = \mathsf{const}[/math],

где [math]\, A[/math] - площа місцевого перетину сопла,

[math]\ln \rho + \ln v + \ln A = \ln(\mathsf{const})[/math],

диференціюючи обидві частини цього рівняння по [math]\, x[/math], одержуємо:

[math]\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d\rho}{dx} + \frac{1}{v}\cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{A}\cdot \frac{dA}{dx} = 0[/math].

Після підстановки з (4) в це рівняння, отримуємо остаточно:

[math]\frac{dA}{dx} = \frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx}\cdot ({M^2 - 1})[/math]     (5)

Зауважимо, що при збільшенні швидкості газу в соплі знак вираження [math]\frac{A}{v}\cdot\frac{dv}{dx}[/math] позитивний і, отже, знак похідної [math]\frac{dA}{dx}[/math] визначається знаком вираження : [math]\,({M^2 - 1})[/math]

Ілюстрація роботи сопла Лаваля. У міру руху газу по соплу, його абсолютна температура Т і тиск Р знижуються, а швидкість V зростає, М - число Маха

З чого можна зробити наступні висновки:

• При дозвуковой швидкості руху газу [math]\,(M\lt 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}\lt 0[/math] - сопло звужується.
• При надзвуковій швидкості руху газу [math]\,(M\gt 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}\gt 0[/math] - сопло розширюється.
• При русі газу зі швидкістю звуку [math]\,(M = 1)[/math], похідна [math]\frac{dA}{dx}=0[/math] - площа поперечного перерізу досягає екстремуму, тобто має місце найвужчий перетин сопла, званий критичним.

Отже, на звуженій, докритичній ділянці сопла рух газу відбувається з дозвуковими швидкостями. У найвужчому, критичному перетині сопла локальна швидкість газу сягає звуковій. На розширеній, закритичній ділянці, газовий потік рухається з надзвуковою швидкістю, прискорюючись. Це прискорення відбувається завдяки тому, що хвиля зниження тиску від розширеної порції газу в надзвуковому потоці не встигає розповсюдитися на наступні за нею інші порції. Закон Бернуллі в цих умовах не виконується. Як наслідок цього, маємо корисну роботу.

Використання сопла Лаваля

Широко використовується в парових і газових турбінах, ракетних і повітряно-реактивних двигунах, газодинамічних лазерах, обладнанні для нанесення фарб, абразиво-струминній обробці тощо.

Залежно від технічного призначення сопла виникають специфічні завдання розрахунку: наприклад, в соплі аеродинамічних труб необхідно забезпечити створення рівномірного і паралельного потоку газу у вихідному перетині, вимоги до сопла ракетних двигунів полягають в здобутті найбільшого імпульсу газового потоку у вихідному перетині сопла при його заданих габаритних розмірах.

Ці та інші технічні завдання привели до бурхливого розвитку теорії сопла, що враховує наявність в газовому потоці рідких і твердих часток, нерівноважних хімічних реакцій, перенесення променистої енергії, що зажадало широкого вживання ЕОМ(електронна обчислювальна машина) для вирішення вказаних завдань, а також для розробки складних експериментальних методів дослідження сопла. nbsp;(4)

Рівняння (4) є ключовим у даному міркуванні. Розглянемо його в такій формі: