Ядерне згладжуваня

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 18 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Ядерне згладжуваня - один із найпростіших видів непараметричної регресії.

Постановка задачи

Решается задача восстановления регрессии. Задано пространство объектов [math]X[/math] и множество возможных

ответов [math]Y=R[/math]. Существует неизвестная целевая зависимость [math]y^*: X \rightarrow Y[/math], значения которой известны только на объектах обучающей выборки [math]X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m[/math]. Требуется построить алгоритм [math]a: X \rightarrow Y[/math], аппроксимирующий целевую зависимость [math]y^*[/math].

Принцип

Принцип, используйщий идейно простой подход к представлению последовательности весов [math]\{ W_{mi}(x) \}_{i=1}^m[/math] состоит в описании формы весовой функции [math]W_{mi}(x)[/math] посредством функции плотности со скалярным параметром, который регулирует размер и форму весов около х. Эту функцию формы принято называть ядром [math]K[/math].

Полученные таким образом веса далее используются для представления величины [math]a(x)[/math] в виде взвешенной суммы значений [math]y_i[/math] обучающей выборки.

Опис методу

Визначення ядра

Ядро — это непрерывная ограниченная симметричная вещественная функция [math]K[/math] с единичным интегралом

[math]\int K(u)du=1[/math]

Последовательность весов

Последовательность весов для ядерных оценок (для одномерного [math]x[/math]) определяется как ::[math]W_{mi}(x)=\frac{K_{h_m}(x-X_i)}{\hat{f}_{h_m}(x)}[/math], где

[math]\hat{f}_{h_m}(x)=\frac1m \sum_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)[/math],

a

[math]K_{h_m}(u)=\frac{1}{h_m} K\(\frac{u}{h_m}\)[/math]

представляет собой ядро с параметром [math]h_m[/math]. Этот параметр принято называть шириной окна. Подчеркнув зависимость [math]h\ =\ h_m[/math] от объема выборки [math]m[/math], условимся сокращенно обозначать последовательность весов [math]W_{mi}(x)[/math].

Функція ядра

Функция [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] является ядерной оценкой плотности Розенблата — Парзена (Rosenblatt, 1956; Parzen, 1962) для (маргинальной) плотности переменной [math]x[/math]. Данный вид ядерных весов [math]W_{mi}(x)[/math] был предложен в работах (Nadaraya, 1964) и (Watson, 1964). Как следствие, оценка ожидаемой величины восстанавливаемой зависимости [math]E(y\|x)[/math]:

[math]\hat{m}_h(x)=\frac{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)Y_i}{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)}[/math]

часто называют оценкой Надарая—Ватсона. Ширина окна определяет, насколько быстро убывают веса [math]W_{mi}(x)[/math] по мере удаления объектов [math]x_i[/math] от [math]x[/math]. Характер убывания определяется видом ядра [math]K[/math]. Нормализация весов [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] гарантирует, что сумма весов равна единице.

Замечание. При ряде условий имеет место сходимость по вероятности данной оценки к [math]E(y|x)[/math].

Приклад функції ядра

Приклади різних функцій ядра.

На практике используется несколько видов ядерных функций. Чаще всего используется квартическая ядерная функция

[math]K(u)=(15/16)(1-u^2)^2I(\| u \| \le 1)[/math].

Также используется ядро Епанечникова, обладающее некоторыми свойствами оптимальности [Хардле В п4.5]; это функция параболического типа (Epanechnikov, 1969; Bartlett, 1963):

[math]K(u)=0.75(1-u^2)I(\| u \| \le 1)[/math].

Другими примерами являются ядро Гаусса,

[math]K(u)=(2\pi)^{-1/2} \exp(-u^2/2)[/math],

треугольное ядро

[math]K(u)=(1-\|u\|)I(\| u \| \le 1)[/math],

и прямоугольное ядро

[math]K(u)=(1/2)I(\| u \| \le 1)[/math].

Замечание. Точность восстанавливаемой зависимости мало зависит от выбора ядра. Ядро определяет степень гладкости функции [math]a(x)[/math].

Залежність від ширини вікна

Выбор окна решающим образом влияет на точность восстанавливаемой зависимости. При чересчур малых значениях [math]h[/math] кривая [math]a(x)[/math] стремится пройти через каждую точку выборки, остро реагируя на шумы и претерпевая резкие скачки, поскольку в этом случае оценка опирается только на небольшое число наблюдений из узкой окрестности точки [math]x[/math]. Наоборот, если ширина окна велика, функция чрезмерно сглаживается и в пределе при [math]h \rightarrow \infty[/math] вырождается в константу -- усреднённое значение величин [math]y_i[/math]. В этом случае сглаженная функция не даёт возможности определить характерные особенности искомой зависимости [math]y^*(x)[/math].

Література

1. Хардле В.Прикладна непараметрична регресія-1989р.
2. Воронцов К.В.Лекції по алгоритмам відновлення регресії - 2007.
3. Лагутин М.Б.Прикладна математична статистика.- 2009

Див. також

• Алгоритм LOWESS
• Варіація і зміщення
• Регресійний аналіз

посилання

Непараметрична регресія