Відмінності між версіями «Розкладання дисперсії на складові»
Рядок 5: | Рядок 5: | ||
Нехай вимірювана величина <math>y</math> набувала в <math>N</math> дослідах таких значень <math>y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N</math>, які характеризуються деякими середніми <math>\overline{y}</math> та оцінкою дисперсії <math>S_y^2</math>. Відкладемо результати вимірювань <math>y</math> на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на <math>y</math> фаторів <math>x</math>. | Нехай вимірювана величина <math>y</math> набувала в <math>N</math> дослідах таких значень <math>y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N</math>, які характеризуються деякими середніми <math>\overline{y}</math> та оцінкою дисперсії <math>S_y^2</math>. Відкладемо результати вимірювань <math>y</math> на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на <math>y</math> фаторів <math>x</math>. | ||
− | Відрізком довжиною <math>S_y</math> зобразимо показник загального розкиду значення <math>y</math> (скористатися дисперсією <math>S_y^2</math> не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю <math>y</math>). Припустимо, що одночасно з <math>y</math> реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на <math>y</math>. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень <math>y</math> і <math>x</math> зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання <math>y</math> зі збільшенням <math>x</math>. Однак говорять лише про зміни <math>y</math> у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад <math>y_1>y_5</math>, хоча <math>y_5</math> відповідає більшому <math>x</math>. Ішими словами, кожному <math>x_i</math> відповідає середнє <math>y_i</math>, яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями <math>y</math>. Умовні середні <math>y_i</math> зображено на рис. 3. Розглядаючи <math>\overline{y_i}</math> як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього <math>\overline{y_i}</math>. Охарактеризуємо цей розкид величиною <math>S^ | + | Відрізком довжиною <math>S_y</math> зобразимо показник загального розкиду значення <math>y</math> (скористатися дисперсією <math>S_y^2</math> не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю <math>y</math>). Припустимо, що одночасно з <math>y</math> реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на <math>y</math>. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень <math>y</math> і <math>x</math> зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання <math>y</math> зі збільшенням <math>x</math>. Однак говорять лише про зміни <math>y</math> у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад <math>y_1>y_5</math>, хоча <math>y_5</math> відповідає більшому <math>x</math>. Ішими словами, кожному <math>x_i</math> відповідає середнє <math>y_i</math>, яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями <math>y</math>. Умовні середні <math>y_i</math> зображено на рис. 3. Розглядаючи <math>\overline{y_i}</math> як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього <math>\overline{y_i}</math>. Охарактеризуємо цей розкид величиною <math>S^2_{y/x}</math>, яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх <math>\overline{y_i}</math> від загального середнього <math>\overline{y}</math>. |
− | Природно, що від | + | Природно, що від того, наскільки зміни <math>x</math> впливають на середні зміни <math>y</math>, залежать значення <math>S^2_{y/x}</math> і показник загального розкиду <math>S^2_y</math>. |
+ | Зазначимо, що при одному й тому ж значенні <math>x</math> в чотирьох дослідах дістали різні значення <math>y</math> (див. рис. 2). Наявність даного розкиду при фіксованому значенні фактора <math>x</math> пояснюється діянням невраховуваних факторів <math>z</math>, тобто різними випадковими причинами. Не виділяючи будь-яку з них, охарактеризуємо сумарний ефект від них залишковою дисперсією <math>S^2_{y/z}</math>, яка, представляючи розкид результатів вимірювань <math>y</math> відносно <math>\overline{y}</math>, залежить від суми квадратів відхилень <math>y</math>, виміряних при кожному значенні <math>x</math>, від відповідних умовних середніх <math>\overline{y_i}</math>. На рис. 3 відрізками зображено показник розкиду для кожного <math>x</math>, а також показник розкиду <math>S_{y/x}</math> середніх значень <math>\overline{y_i}</math>. | ||
+ | |||
+ | Очевидно, що, коли усунути вплив невраховуваних факторів, розкид <math>y</math> при фіксованому <math>x</math> не спостерігатиметься і загальний розкид <math>y</math> визначатиметься тільки діяннями <math>x</math> (див. рис. 4). З іншого боку, якби вплив фактора <math>x</math> на <math>y</math> був відсутній, а випадкові причини виявляли своє діяння (див. рис. 5), то загальний розкид <math>y</math> визначався б тільки ними і характеризувався лише залишковою дисперсією від діяння невраховуваних факторів. | ||
+ | |||
+ | Детально розглянемо основні принципи сучасного експерименту: рандомізацію, багатофакторність, оптимізацію та автоматизацію. Пояснимо перший з них. Дисперсійний аналіз стає об’єктивним інструментом дослідження лише при умові, що кожне значення змінної вибрано з генеральної сукупності випадковим чином. Відбір випадкових значень змінної, який забезпечує однакову імовірність потрапити до вибірки будь-якого з них для всієї генеральної сукупності, називається рандомізацією (від англійського random – вибраний навмання). У біометрії це слово прийнято записувати і вимовляти як рендомізація. Щоб забезпечити однакову імовірність для будь-якого члена генеральної сукупності, найчастіше користуються таблицею випадкових чисел. | ||
+ | |||
+ | Таким чином, при сумісності діяння фактора <math>x</math> та випадкових причин <math>z</math> наступною буде рівність | ||
+ | <math>S^2= S^2_{y/x}+ S^2_{y/z}</math>, | ||
+ | яка і виражає властивість адитивної дисперсії. | ||
+ | Зазначимо, що ця формула правильна лише при незалежних (некорельованих) факторах, які впливають на <math>y</math>. У противному разі вона ускладнюється: | ||
+ | <math>S^2= S^2_{y/x} + S^2_{y/z} - 2 S_{y/x} S_{y/z} r_{xz} </math>, | ||
+ | де <math> r_{xz}</math> - коефіцієнт кореляції. | ||
+ | Формула адитивності дисперсії є основною всього дисперсійного аналізу. Її застосування часто зустрічається з боку експерименту внутрішній опір. Оскільки при всій своїй простоті вона не є очевидною. Тому, перш ніж дістати на основі цієї формули розрахункові рівняння, доведемо її правильність. Для цього скористаємось формальним перетворенням суми квадратів відхилень від загального середнього: | ||
+ | <math>\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i} + \overline{y_j} + \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m [(y_{ij} - \overline{y_i}) + (\overline{y_i} - \overline{y})]^2 = </math> | ||
+ | |||
+ | <math> = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (\overline{y_i} - \overline{y})^2 + 2\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})(\overline{y_i}-\overline{y}) </math>. | ||
+ | |||
+ | Враховуючи, що | ||
+ | <math> \overline{y_i} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij} </math> ; | ||
+ | |||
+ | <math> \overline{y} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_ij = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \overline{y_i} </math>; | ||
+ | |||
+ | <math> \sum_{j=1}^n \overline{y_i} = n \overline{y_i} </math> ; | ||
+ | <math> \sum_{j=1}^n \overline{y} = n \overline{y} </math> , | ||
+ | |||
+ | покажемо, як останній доданок при розкладанні перетворюється в нуль: |
Версія за 11:15, 13 березня 2012
Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону. |
Розглянемо задачу розкладання дисперсії як характеристики коливальності (розкиду, розсіювання, зміни) на простому абстрактному прикладі.
Нехай вимірювана величина [math]y[/math] набувала в [math]N[/math] дослідах таких значень [math]y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N[/math], які характеризуються деякими середніми [math]\overline{y}[/math] та оцінкою дисперсії [math]S_y^2[/math]. Відкладемо результати вимірювань [math]y[/math] на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на [math]y[/math] фаторів [math]x[/math].
Відрізком довжиною [math]S_y[/math] зобразимо показник загального розкиду значення [math]y[/math] (скористатися дисперсією [math]S_y^2[/math] не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю [math]y[/math]). Припустимо, що одночасно з [math]y[/math] реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на [math]y[/math]. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень [math]y[/math] і [math]x[/math] зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання [math]y[/math] зі збільшенням [math]x[/math]. Однак говорять лише про зміни [math]y[/math] у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад [math]y_1\gt y_5[/math], хоча [math]y_5[/math] відповідає більшому [math]x[/math]. Ішими словами, кожному [math]x_i[/math] відповідає середнє [math]y_i[/math], яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями [math]y[/math]. Умовні середні [math]y_i[/math] зображено на рис. 3. Розглядаючи [math]\overline{y_i}[/math] як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього [math]\overline{y_i}[/math]. Охарактеризуємо цей розкид величиною [math]S^2_{y/x}[/math], яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх [math]\overline{y_i}[/math] від загального середнього [math]\overline{y}[/math].
Природно, що від того, наскільки зміни [math]x[/math] впливають на середні зміни [math]y[/math], залежать значення [math]S^2_{y/x}[/math] і показник загального розкиду [math]S^2_y[/math]. Зазначимо, що при одному й тому ж значенні [math]x[/math] в чотирьох дослідах дістали різні значення [math]y[/math] (див. рис. 2). Наявність даного розкиду при фіксованому значенні фактора [math]x[/math] пояснюється діянням невраховуваних факторів [math]z[/math], тобто різними випадковими причинами. Не виділяючи будь-яку з них, охарактеризуємо сумарний ефект від них залишковою дисперсією [math]S^2_{y/z}[/math], яка, представляючи розкид результатів вимірювань [math]y[/math] відносно [math]\overline{y}[/math], залежить від суми квадратів відхилень [math]y[/math], виміряних при кожному значенні [math]x[/math], від відповідних умовних середніх [math]\overline{y_i}[/math]. На рис. 3 відрізками зображено показник розкиду для кожного [math]x[/math], а також показник розкиду [math]S_{y/x}[/math] середніх значень [math]\overline{y_i}[/math].
Очевидно, що, коли усунути вплив невраховуваних факторів, розкид [math]y[/math] при фіксованому [math]x[/math] не спостерігатиметься і загальний розкид [math]y[/math] визначатиметься тільки діяннями [math]x[/math] (див. рис. 4). З іншого боку, якби вплив фактора [math]x[/math] на [math]y[/math] був відсутній, а випадкові причини виявляли своє діяння (див. рис. 5), то загальний розкид [math]y[/math] визначався б тільки ними і характеризувався лише залишковою дисперсією від діяння невраховуваних факторів.
Детально розглянемо основні принципи сучасного експерименту: рандомізацію, багатофакторність, оптимізацію та автоматизацію. Пояснимо перший з них. Дисперсійний аналіз стає об’єктивним інструментом дослідження лише при умові, що кожне значення змінної вибрано з генеральної сукупності випадковим чином. Відбір випадкових значень змінної, який забезпечує однакову імовірність потрапити до вибірки будь-якого з них для всієї генеральної сукупності, називається рандомізацією (від англійського random – вибраний навмання). У біометрії це слово прийнято записувати і вимовляти як рендомізація. Щоб забезпечити однакову імовірність для будь-якого члена генеральної сукупності, найчастіше користуються таблицею випадкових чисел.
Таким чином, при сумісності діяння фактора [math]x[/math] та випадкових причин [math]z[/math] наступною буде рівність [math]S^2= S^2_{y/x}+ S^2_{y/z}[/math], яка і виражає властивість адитивної дисперсії. Зазначимо, що ця формула правильна лише при незалежних (некорельованих) факторах, які впливають на [math]y[/math]. У противному разі вона ускладнюється: [math]S^2= S^2_{y/x} + S^2_{y/z} - 2 S_{y/x} S_{y/z} r_{xz}[/math], де [math]r_{xz}[/math] - коефіцієнт кореляції. Формула адитивності дисперсії є основною всього дисперсійного аналізу. Її застосування часто зустрічається з боку експерименту внутрішній опір. Оскільки при всій своїй простоті вона не є очевидною. Тому, перш ніж дістати на основі цієї формули розрахункові рівняння, доведемо її правильність. Для цього скористаємось формальним перетворенням суми квадратів відхилень від загального середнього: [math]\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i} + \overline{y_j} + \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m [(y_{ij} - \overline{y_i}) + (\overline{y_i} - \overline{y})]^2 =[/math]
[math]= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (\overline{y_i} - \overline{y})^2 + 2\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})(\overline{y_i}-\overline{y})[/math].
Враховуючи, що [math]\overline{y_i} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij}[/math] ;
[math]\overline{y} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_ij = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \overline{y_i}[/math];
[math]\sum_{j=1}^n \overline{y_i} = n \overline{y_i}[/math] ; [math]\sum_{j=1}^n \overline{y} = n \overline{y}[/math] ,
покажемо, як останній доданок при розкладанні перетворюється в нуль: