Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Сиротюк Михайло Володимирович Викладач: Назаревич О.Б. Термін до: 28 лютого 2010 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби

 http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

Планування експерименту при дисперсійному аналізі

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається повним факторним експериментом (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається подрібнений факторний експеримент (ДФЕ) [1].
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне. Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

Латинські квадрати

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.

Рис.1 - Латинський квадрат 3х3

Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

Дисперсійний аналіз латинського квадрату

При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:

• Сума по стрічках

[math]{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}[/math]

• Сума по стовпцях:

[math]{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}[/math]

• Сума по латинським буквам:

[math]{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}[/math]

2.Суму квадратів всіх дослідів:

[math]S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}[/math]

3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:

[math]S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}[/math]

4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:

[math]S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}[/math]

5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:

[math]S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}[/math]

6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):

[math]S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}[/math]

7.Суму квадратів для стрічки:

[math]S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}[/math]

8.Суму квадратів для стовпця:

[math]S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}[/math]

9.Суму квадратів для латинської букви:

[math]S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}[/math]

10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом

[math]S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}[/math]

11.Залишкову суму квадратів:

[math]S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}[/math]

Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце: 12.Дисперсію [math]s_{A}^{2}[/math]:

[math]s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}[/math]

13.Дисперсію [math]s_{B}^{2}[/math]:

[math]s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}[/math]

14.Дисперсію [math]s_{C}^{2}[/math]:

[math]s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}[/math]

15.Дисперсію [math]s_{pom}^{2}[/math]:

[math]s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}[/math]

Греко–латинські квадрати

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.

Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3

Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5

В греко-латинських квадратах є [math]{{n}^{2}}[/math] різких комбінацій рівнів факторів замість [math]{{n}^{4}}[/math] комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою [math]1/{{n}^{2}}[/math] репліку від ПФЕ. Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D. Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

Латинські куби

Повному факторному експерименту для трьох факторів [math]{{n}^{3}}[/math] (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1]. Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті. Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

Перелік використаних джерел

1. Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
2. В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.