Рототабельне планування

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Храплива У.В. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 20 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Прізвище	Храплива
Ім'я	Уляна
По батькові	Вікторівна
Факультет	ФІС
Група	СНм-51
Залікова книжка	СНм-11-253

Рототабельне планування

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним. Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

[math]\alpha ={{2}^{n/2}}.[/math]

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: центральне композиційне рототабельне планування (ЦКРП). Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α. Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 1). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

n	[math]{{\operatorname{N}}_{n}}[/math]	[math]{{\operatorname{N}}_{\alpha }}[/math]	[math]{{\operatorname{N}}_{0}}[/math]	N	[math]\alpha[/math]
2	5	4	4	13	1,414
3	6	8	6	20	1,680
4	7	16	8	31	2,000
5	10	32	10	52	2,378
6	15	64	12	91	1,828
7	21	128	14	163	1,333

Таблиця 1 – Підготовка ЦКРП другого порядку При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

[math]\begin{align} & B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\ & A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\ & C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\ \end{align}[/math]

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану. За результатами експериментів обчислюють такі суми:

[math]\begin{align} & {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\ & {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\ & {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\ & {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\ \end{align}[/math]

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

[math]\begin{align} & {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\ & {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\ & {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\ & {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\ & \\ \end{align}[/math]

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

[math]\begin{align} & S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\ & S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\ & S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\ & {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\ \end{align}[/math]

У цих формулах дисперсія відтворюваності [math]S_{y}^{2}[/math] визначається за результатами дослідів у нульовій точці

[math]\begin{align} & S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\ & \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\ \end{align}[/math]

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

[math]S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},[/math]

якшо число ступенів вільності

[math]{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).[/math]

Приклад

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

Розв'язання. Як функції відклику прийнято [math]y_1[/math], % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); [math]y_2[/math], % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; [math]y_3[/math], кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна. Незалежними змінними є, %: [math]x_1[/math] — вихід крупи на першій системі для дертя; [math]x_2[/math] — те ж на другій системі; [math]x_3[/math] — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх [math]x_i[/math], вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

Незалежні змінні	Нижній	Основний	Верхній
[math]X_1[/math]	5	10	15
[math]X_2[/math]	30	40	50
[math]X_3[/math]	65	70	75

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ [math]2^3[/math], шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 2 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка. За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

[math]\begin{align} & {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\ & -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\ & {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\ & +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\ & {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\ & -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\ \end{align}[/math]

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 3. Коефіцієнти при [math]z^2[/math] на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

	[math]z_0[/math]	[math]z_1[/math]	[math]z_2[/math]	[math]z_3[/math]	[math]z_1^2[/math]	[math]z_2^2[/math]	[math]z_3^2[/math]	[math]z_1*z_2[/math]	[math]z_1*z_3[/math]	[math]z_2*z_3[/math]	[math]y_1c[/math]	[math]y_2c[/math]	[math]y_3c[/math]
1	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	0,75	40,5	8,4
2	+	+	+	-	+	+	+	+	-	-	0,68	36,7	7,3
3	+	+	-	+	+	+	+	-	+	-	0,78	41,3	8,7
4	+	+	-	-	+	+	+	-	-	+	0,61	42,7	7,3
5	+	-	+	+	+	+	+	-	-	+	0,72	41,0	8,7
6	+	-	+	-	+	+	+	-	+	-	0,61	37,0	7,9
7	+	-	-	+	+	+	+	+	-	-	0,78	38,2	9,2
8	+	-	-	-	+	+	+	+	+	+	0,62	34,9	8,0
9	+	+1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0	0	0,67	44,7	6,8
10	+	-1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0	0	0,66	39,4	7,7
11	+	0	+1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0	0,86	40,7	9,3
12	+	0	-1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0	0,65	37,8	8,5
13	+	0	0	+1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0,86	40,7	9,3
14	+	0	0	-1,68	0	0	+2,83	0	0	0	0,63	39,3	7,0
15	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,65	41,6	6,4
16	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,63	42,7	6,6
17	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,66	44,5	6,2
18	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,66	42,9	6,1
19	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,65	44,5	6,8
20	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,65	44,0	6,5

Таблиця 2 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку

[math]{{\operatorname{y}}_{i}}[/math]	[math]{{\operatorname{S}}_{b0}}[/math]	[math]{{\operatorname{S}}_{b1}}[/math]	[math]{{\operatorname{S}}_{b2}}[/math]	[math]{{\operatorname{S}}_{b3}}[/math]
[math]y_1[/math]	0,0053	0,0035	0,0034	0,0046
[math]y_2[/math]	0,48	0,31	0,30	0,41
[math]y_3[/math]	0,13	0,8	0,8	0,11

Таблиця 3 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП

Перелік використаних джерел

1. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК