Дробовий факторний експеримент

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: POWER Викладач: Назаревич О.Б. Термін до: 4 березня 2010 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Вступ

Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.

Дробовий факторний експеримент

Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу [math]2^2[/math] рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю [math]y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2[/math] Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.

Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ

№ Експеримету	[math]x_0[/math]	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_1x_2[/math]	[math]y[/math]
1	+	-	-	+	[math]y_1[/math]
2	+	+	-	-	[math]y_2[/math]
3	+	-	+	-	[math]y_3[/math]
4	+	+	+	+	[math]y_4[/math]

При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням [math]y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k[/math], то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу [math]2^2[/math] при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі [math]b_12[/math], дорівнює нулю, а стовпець [math]x_1x_2[/math] матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору [math]x_3[/math].

Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ

№ Експеримету	[math]x_0[/math]	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x3(x_1x_2)[/math]	[math]y[/math]
1	+	-	-	+	[math]y_1[/math]
2	+	+	-	-	[math]y_2[/math]
3	+	-	+	-	[math]y_3[/math]
4	+	+	+	+	[math]y_4[/math]

При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі [math]y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3[/math] досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу [math]2^3[/math].

Дробові репліки

Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають [math]2^{k-p}[/math], де

• k-кількість експериментів;
• p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.

При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).

Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів

Кількість факторів	Дробова репліка	Умовне позначення	Кількість експериментів для дробової репліки	Кількість експериментів для повного факторного експеримента
3	1/2 репліка від [math]2^3[/math]	[math]2^{3-1}[/math]	4	8
4	1/4 репліка від [math]2^4[/math]	[math]2^{4-1}[/math]	8	16
5	1/4 репліка від [math]2^5[/math]	[math]2^{5-2}[/math]	8	32
6	1/8 репліка від [math]2^6[/math]	[math]2^{6-3}[/math]	8	64
7	1/16 репліка від [math]2^7[/math]	[math]2^{7-4}[/math]	8	128
5	1/2 репліка від [math]2^5[/math]	[math]2^{5-1}[/math]	16	32
6	1/4 репліка від [math]2^6[/math]	[math]2^{6-2}[/math]	16	64
7	1/8 репліка від [math]2^7[/math]	[math]2^{7-3}[/math]	16	128
8	1/16 репліка від [math]2^8[/math]	[math]2^{8-4}[/math]	16	256
9	1/32 репліка від [math]2^9[/math]	[math]2^{9-5}[/math]	16	512
10	1/64 репліка від [math]2^{10}[/math]	[math]2^{10-6}[/math]	16	1024
11	1/128 репліка від [math]2^{11}[/math]	[math]2^{11-7}[/math]	16	2048
12	1/256 репліка від [math]2^{12}[/math]	[math]2^{12-8}[/math]	16	4096
13	1/512 репліка від [math]2^{13}[/math]	[math]2^{13-9}[/math]	16	8192
14	1/1024 репліка від [math]2^{14}[/math]	[math]2^{14-10}[/math]	16	16384
15	1/2048 репліка від [math]2^{15}[/math]	[math]2^{15-11}[/math]	16	32768

Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень.

Генеруючі співвідношення. Насичені плани

Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу [math]2^{3-1}[/math] може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: [math]x_3=x_1x_2[/math], [math]x_3=-x_1x_2[/math]:

Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну [math]x_3[/math]:[math]x^2_3=x_1x_2x_3[/math], [math]x^2_3=-x_1x_2x_3[/math].

Таблиця 4 - Матриця планування [math]2^{3-1}[/math] представлена двома репліками

№ Експеримету	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_3[/math]	№ Експеримету	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_3[/math]
1	-	+	-	1	-	+	+
2	+	+	+	2	-	+	+
3	-	-	+	3	-	-	-
4	+	-	-	4	+	-	+

Оскільки [math]x^2_i[/math], одержимо наступні співвідношення: [math]1=x_1x_2x_3[/math], [math]1=-x_1x_2x_3[/math]. У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні [math]x_1, x_2 i x_3[/math] на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на [math]x_1[/math], одержимо співвідношення [math]x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3[/math] Оскільки, [math]x^2_1=1[/math], то [math]x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3[/math]. При множенні визначальних контрастів на [math]x_2 & x_3[/math], одержимо співвідношення: [math]x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2[/math]. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:

[math]b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23}[/math] [math]b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13}[/math] [math]b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12}[/math]

У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки. Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою.

Ефективність реплік

• Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.
• Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.
• Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.

Список використаних джерел

1. 1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
2. 2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
3. 3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Студент: Користувач:POWER

Виступ відбувся: 4 березня 2010

Тема: Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.