Оптимізаційні методи планування експериментів Крокова процедура метод Гаусса-Зейделя метод крутого сходження

Оптимізаційні методи планування експериментів. Крокова процедура, метод Гаусса-Зейделя, метод крутого сходження

 http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/372 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

Факторний простір та поверхня відклику

Розглянемо простий експеримент, який характеризується двома факторами та одним параметром. Якщо фактори є сумісними між собою, то на площині можна зобразити певну область, в межах якої знаходяться точки, які відповідають станам “чорного ящика” (досліджуваного експериментально об’єкта). Якщо провести ще одну координатну вісь, то отримаємо деяку область простору, в межах якої знаходяться точки, що відповідають значенню параметра оптимізації (рис. 1). Ця область в просторі називається поверхнею відклику а сам простір, в якому будується поверхня відклику, називається факторним простором. Розмірність факторного простору залежить від кількості факторів.

У випадку двох факторів достатньо обмежитися площиною. Якщо спроектувати поверхню відклику на площину, на якій визначаються фактори оптимізації, то отримана проекція, наприклад, може виглядати так, як показано на рис. 2.

Деяка точка М відповідає оптимуму функції відклику досліджуваного об’єкта. Саме цю точку і шукають при оптимізації планування експерименту. Кожна лінія відповідає постійному значенню параметра оптимізації і називається лінією рівного відклику.

Задача оптимізації

Згідно із [1] розв'язання задач управління, проектування і планування тією чи іншою мірою пов'язане з оптимізацією, тобто знаходженням найкращих значень різних параметрів. Звичайно задається або вибирається деякий параметр оптимізації, який залежить від вектора керованих параметрів (факторів варіювання):

Задача оптимізації зводиться до пошуку таких значень параметрів при яких цільова функція досягає екстремуму (максимуму або мінімуму). Для однозначності загальних міркувань вважатимемо оптимальним максимальне значення виходу:

Залежність

утворює деяку поверхню в - вимірному просторі . Цю поверхню прийнято називати поверхнею відклику, а окремі її точки або значення в точках факторного простору – просто відкликом. В тих випадках, коли залежність задана або утворена в аналітичній формі, координати точки екстремуму функції можна знайти, розв'язавши систему диференціальних рівнянь виду

Розв'язком цієї системи є стаціонарна тонка , в якій градієнт функції перетворюється в нуль:

.

Нагадаємо, що

,

де – напрямний вектор координатної осі . У більшості практичних випадків аналітична залежність невідома і єдине, що є у розпорядженні дослідника – це можливість спостерігати значення відклику при будь-якій комбінації варійованих факторів . Задача оптимізації ускладнюється, якщо залежність , яка описує властивості об'єкта дослідження, змінюється таким чином, що координати екстремальної стаціонарної точки зсуваються. Тоді говорять, що об'єкту притаманні дрейфуючі характеристики. При розв'язанні задач оптимізації користуються двома способами: 1) визначають повну математичну модель і задачу розв'язують аналітичним або чисельним способом; 2) здійснюють експериментальний пошук стаціонарної точки у факторному просторі змінних . Другий спосіб набуває все більшого визнання, оскільки дає можливість оптимального поєднання експериментальної роботи і математичного опрацювання при максимальному виході інформації.

Кроковий принцип пошуку оптимуму

За умови, коли ми свідомо відмовляємося при пошуку оптимуму від повного перебору всіх можливих значень функції відклику, доводиться накладати обмеження на математичну модель досліджуваного об’єкта ще до початку експерименту. Йдеться про те, що з метою спрощення задачі припускають про неперервний характер поверхні відклику та про наявність однієї єдиної точки відклику, хай навіть і на межі області визначення факторів експерименту. Якщо, наприклад, ми знатимемо значення параметра оптимізації в декількох сусідніх точках факторного простору, то ми зможемо (на основі попередньо зробленого припущення про безперервність функції відклику) приблизно обчислити значення цього параметра, на які можна очікувати в інших, сусідніх точках. Отже, можна знайти такі точки, для яких очікується найбільше збільшення (або зменшення, якщо ми шукаємо мінімум) параметра оптимізації. Тоді вже очевидно, що наступний експеримент треба переносити саме в ці точки факторного простору. Тобто, слід просуватися в цьому напрямку, нехтуючи іншими (ось де економляться досліди). Провівши новий експеримент, знову можна оцінити напрям, в якому швидше за все слід рухатися.

Оскільки оптимум єдиний, ми таким чином рано чи пізно неодмінно його досягнемо. Іншими словами, ми вибираємо у факторному просторі якусь точку і розглядаємо безліч точок в її околі, тобто вибираємо в області визначення факторів невелику підобласть. Тут ми хочемо провести експеримент, на підставі якого повинна бути побудована перша модель. Цю модель ми маємо намір використовувати для прогнозу результатів дослідів в тих точках, які не входили в експеримент. Якщо ці точки лежать всередині нашої невеликої підобласті, то такий прогноз називається інтерполяцією, а якщо ззовні – екстраполяцією. Чим далі від області експерименту лежить точка, для якої ми хочемо передбачити результат, тим з меншою упевненістю це можна робити. Тому ми вимушені екстраполювати недалеко і використовувати результати екстраполяції для вибору умов проведення наступного експерименту. Далі цикл повторюється. В цьому і полягає кроковий принцип оптимізації. Також отриману модель можна використовувати для перевірки різних гіпотез про природу досліджуваного явища. Наприклад, можна перевірити апріорне припущення про те, що зростання значення певного фактора призводить до зростання значення параметра оптимізації. Така перевірка називається інтерпретацією моделі. На рис. 3 найпростіший варіант крокового пошуку точки оптимуму. Хрестиками позначені окремо взяті точки (умови досліду).

Як бачимо, вивчається невеликий окіл стартової точки і визначається найкращий напрямок руху, в якому надалі і будуть проводитися подальші експерименти.