Формула Жуковського

Біографія

Микола Єгорович Жуковський народився 17 січня 1847, с. Орєхово (сьогодні Владимирської області) — помер 17 березня 1921, Москва) — видатний російський науковець, творець аеродинаміки як науки, основоположник сучасної гідро- і аеромеханіки, член-кореспондент Петербурзької АН з 1894 року. Народився у родині інженера. Навчаючись у гімназії Жуковський мріяв стати інженером залізниці, вчитися в Петербурзькому інституті шляхів сполучення, але це його батьки не могли собі фінансово дозволити. М.Є. Жуковський вступив у Московський університет на фізико-математичний факультет. По закінченні університету в 1868 році, намагався вчитися в Петербурзькому інституті шляхів сполучення, але неуспішно. Працює над дисертацією, викладає в жіночій гімназії, у Московському вищому технічному училищі. Тут він створив кафедру «Теоретична механіка», аеродинамічну лабораторію, навчив багато відомих згодом конструкторів літаків, авіаційних двигунів. Серед його учнів Я. Д. Аккерман, А. А. Архангельский, Н. Б. Делоне, М.А. Артем'єв, Л. С. Лейбензон.

В 1882 р. і 1886 р. в зв’язку з висунутою тоді технічною проблемою створення суден з реактивними двигунами, вчений запровадив методи розрахунку впливу на ємкість затікаючої і витікаючої рідини. Важливим питанням гідродинаміки бала присвячена магістерська дисертація “Кінематика рідкого тіла“ (1876). Теоретичні і експериментальні дослідження складного явища гідравлічного удару дозволили Жуковському М.Є. дати закінчену теорію гідравлічного тарану.

Роботи Жуковського в галузі аеродинаміки стали джерелом основних ідей, на яких будується авіаційна наука. Він всебічно дослідив динаміку польоту птахів, теоретично пророчив ряд можливих траєкторій польоту. У 1904 році Жуковський відкрив закон, що визначає підйомно силу крила літака; визначив основні профілі крил і лопастей гвинта літака; розробив теорію вихрових повітряного гвинта.

Розрахунок гідравлічного удару в трубопроводах

формула Жуковського використовується для визначення величини гідравлічного удару. Різка зміна швидкості в одному місці довгого трубопроводу, зумовлена, наприклад, роботою регулюючого чи запірного пристрою, може привести до суттєвих коливань тиску в усьому трубопроводі – до появи гідравлічного удару. Гідравлічний удар – різке збільшення тиску в трубопроводі при раптовій зупинці рідини, що в ньому рухається. При різкому перекритті потоку спочатку зупиниться шар рідини безпосередньо біля крана (засувки). Внаслідок переходу кінетичної енергії в потенціальну тиск у цьому шарі зросте. Так як рідина стискувана, то зупинки всієї її маси в трубопроводі не відбудеться миттєво. Границя об’єму зупиненої рідини переміщається вздовж трубопроводу. Час, за який хвиля гідроудару подолає шлях l від точки зупинки до початку трубопроводу (наприклад, до насоса) і повернеться назад, називається фазою гідроудару.Вона може бути визначена за формулою:

[math]T=2l/c[/math]

де с- швидкість поширення ударної хвилі.

Теоретично при миттєвому перекритті потоку, що рухається в трубопроводі з швидкістю V, відбувається миттєва зміна тису в трубопроводі біля місця перекриття на величину Δp. Вона визначається за формулою М.Є.Жуковського

[math]\triangle \ p=\rho cV[/math]

де с-швидкість поширення хвилі ударного тиску вздовж трубопроводу

[math]c=c_0 /\sqrt{1+(E_p/E_mp)*d/\delta}[/math]

тут: Ер – об’ємний модуль пружності рідини; Етр - модуль пружності матеріалу стінок труби; δ – товщина стінок труби; d – внутрішній діаметр труби;

[math]{{c}_{0}}=\sqrt{\frac{{{E}_{p}}}{\rho }}[/math] - швидкість поширення звуку в рідині. Для води при t=100C c0=1435 м/с. Якщо перекриття потоку відбувається повільно, кран перекриває потік за скінчений час tкр, то тут виникають умови переходу до непрямого гідроудару. Ці умови можна записати так: tкр<T прямий гідроудар (хвиля дійшла до насосу, повернулась назад, а засувка уже закрита. Підвищення тиску максимальне). Розрахунок у цьому випадку ведеться за формулою Жуковського; tкр>T непрямий гідроудар (хвиля дійшла до насосу, повернулась назад, а засувка ще не закрита. Підвищення тиску менше) Розрахунок ведеться за формулою Жуковського записаною у вигляді:

[math]\Delta p=\rho cV\frac{T}{{{t}_{kp}}}=\frac{2l\rho V}{{{t}_{kp}}}[/math]

Явище гідроудару приводить до перевантажень з‘єднань у трубопроводах і може призвести до руйнувань трубопроводу. В окремих випадках цей ефект використовується для створення великих тисків, як наприклад, у листовій штамповці. Для боротьби з гідроударом вдаються до наступних заходів: -у місцях можливої появи гідроудару (біля засувок) встановлюють повітряно-гідравлічні ковпаки – гасильники удару; -шляхом зменшення швидкості закриття крана, прямий гідроудар перетворюють у непрямий (tкр>T ); -засувки встановлюють на початку трубопроводу (l→min).

Перепад тиску виводиться з формули М.Є. Жуковського для визначення величини гідравлічного удару.

[math]\frac{\Delta p}{\gamma }=\frac{\upsilon c}{g}[/math]

[math]\upsilon[/math] - швидкість руху рідини; [math]c[/math]- швидкість розповсюдження ударної хвилі. Швидкість [math]c[/math] залежить від пружних властивостей рідини та від пружних властивостей камери і визначається за формулою:

[math]c=\sqrt{\frac{{{K}_{0}}}{\rho }}[/math]

де [math]{{K}_{0}}[/math] - уявний модуль пружності рідини; [math]\rho[/math] - густина рідини.

в розгорнутому вигляді формула Жуковського має вигляд:

[math]\Delta p=\gamma \frac{2Af}{g}\frac{1}{\sqrt{\rho \left( \frac{1}{{{E}_{c}}}+\frac{{{P}_{k}}}{E{{\delta }_{k}}}+\frac{1}{{{E}_{m}}} \right)}}[/math]

де [math]{{E}_{c}}[/math] - модуль об’ємної пружності газорідинної суміші;

[math]E[/math] - модуль пружності матеріалу стінок камери;

[math]{{\delta }_{k}}[/math] - товщина стінок камери;

[math]{{E}_{m}}[/math] - характеристика жорсткості мембранного вузла.

[math]A[/math] - амплітуда пульсацій;

[math]f[/math] - частота пульсацій;

[math]\gamma[/math] - питома вага рідини