Основи теорії подібності

Основи теорії подібності

Теорія подібності – це вчення про умови подібності фізичних явищ. Теорія подібності спирається на вчення про розмірність фізичних величин і служить основою фізичного моделювання . Предметом теорії подібності є встановлення подібності критеріїв різних фізичних явищ і вивчення за допомогою цих критеріїв властивостей самих явищ. Фізичні явища, процеси або системи подібні, якщо в подібні моменти часу в подібних точках простору значення змінних величин, що характеризують стан однієї системи, пропорційні відповідним величинам іншої системи. Коефіцієнти пропорційності для кожної з величин називається коефіцієнтом подібності.

Елементи теорії подібності

Рішення задач гідравліки аналітичними методами на базі диференціальних рівнянь і різних методів математичного аналізу не знайшло широкого застосування для практичних цілей. Необхідність введення різних припущень і обмежень дозволяють використовувати отримані суворі рішення лише як якісні оцінки досліджуваних процесів. Практичні ж результати, як правило, досягаються експериментальними методами досліджень. Побудова моделі того чи іншого процесу також пов'язане з чималими труднощами. Це, перш за все, необхідність точного знання фізичної сторони досліджуваного процесу, вміння виділити істотні сторони і фактори, домогтися повної аналогії побудованої моделі з натурою і т.д. Тому навіть всебічне знання природи досліджуваного процесу не гарантує абсолютний успіх. При вирішенні практичних завдань в гідравліці користуються обома відомими методами побудови моделей як фізичним, так і математичним моделюванням. При фізичному моделюванні модель, як і натура, мають однакову фізичну природу і відрізняються один від одного лише розмірами. При математичному моделюванні модель має інше, ніж натура, фізичний зміст: загальними у них є лише однакові диференціальні рівняння, що описують подібні фізичні процеси, що протікають в моделі і натурі.

Фізичне моделювання

Фізична модель відрізняється від натури лише розмірами, тобто модель за своїми розмірами може бути, частіше всього лише зменшеною копією натури, або вона може (в деяких випадках) перевершувати за своїми розмірами натуру. І в тому і в іншому випадку, для успішного і правильного побудови моделі необхідно, насамперед, знати основні закони подібності. Модель і натура будуть адекватні між собою, якщо при побудові моделі будуть виконані всі основні елементи подібності. До таких умов відносяться критерії геометричного, кінематичного та динамічного подоби.

Для геометричної подібності необхідно, щоб відношення будь-яких співставних лінійних розмірів моделі і натури були однаковими. Так протяжність моделі і натури, а також і інші розміри повинні знаходиться між собою у пропорційній залежності:

[math]\frac{{{L}_{n}}}{{{L}_{m}}}={{K}_{1}}[/math]

де:Lm і Ln - лінійний розмір відповідно на моделі і на натурі, K1 - Коефіцієнт геометричної подібності, масштаб моделювання. В такому випадку, при зіставленні розмірів площ на моделі і натурі потрібно дотримуватися такого ж масштабного множника, але з урахуванням порядку мірності величини:

[math]\frac{{{S}_{n}}}{{{S}_{m}}}=\frac{L_{n}^{2}}{L_{m}^{2}}=K_{1}^{2}[/math]

Тобто при зіставленні розмірів площ на моделі і на натурі співвідношення цих величин дорівнюватиме квадрату масштабного лінійного множника. Відповідно для зіставлення об’ємів:

[math]\frac{{{W}_{n}}}{{{W}_{m}}}=\frac{L_{n}^{3}}{L_{m}^{3}}=K_{1}^{3}[/math]

Для кінематичної подібності необхідно, щоб траєкторії всіх порівнянних частинок були геометрично подібні, тобто при цьому крім геометричної подібності порівнянних криволінійних відрізків моделі і натури виконувалася ще подібність інтервалів часу в моделі і натурі:

[math]\frac{{{t}_{n}}}{{{t}_{m}}}={{K}_{1}}[/math]

Тоді величини швидкостей руху частинок в моделі та натурі будуть відноситись між собою як:

[math]\frac{{{v}_{n}}}{{{v}_{m}}}=\frac{\frac{{{L}_{n}}}{{{t}_{n}}}}{\frac{{{L}_{m}}}{{{t}_{m}}}}=\frac{{{K}_{t}}}{{{K}_{1}}}=K[/math],

а величини витрат рідини:

[math]\frac{{{Q}_{n}}}{{{Q}_{m}}}=\frac{{{v}_{n}}\times {{t}_{n}}}{{{v}_{m}}\times {{t}_{m}}}={{K}_{v}}\times {{K}_{t}}={{K}_{Q}}[/math]

Для динамічної подібності порівнюваних потоків необхідно, щоб у відповідних місцях потоків були подібні діючі в них однойменні сили. Нехай у порівнянних точках потоку рідини і побудованій моделі цього потоку діє деяка інерціальна сила F. Тоді при дотриманні геометричної і кінематичної подібності, критерій динамічної подібності може бути виражений наступним чином:

[math]\frac{{{F}_{n}}}{{{F}_{m}}}=\frac{{{\rho }_{n}}\times {{W}_{n}}\times {{a}_{n}}}{{{\rho }_{m}}\times {{W}_{m}}\times {{a}_{m}}}=\frac{{{\rho }_{n}}\times \nu _{n}^{2}\times L_{n}^{2}}{{{\rho }_{m}}\times \nu _{m}^{2}\times L_{m}^{2}}={{K}_{1}}[/math]

Величина К1 називається масштабу сил. Розглянемо критерії подібності окремих сил діючих в рідині. Сила внутрішнього тертя в рідині:

[math]\frac{{{T}_{m}}}{T}=\frac{\frac{{{\mu }_{m}}\times L_{m}^{2}\times {{\nu }_{m}}}{{{L}_{m}}}}{\frac{{{\mu }_{n}}\times L_{n}^{2}\times {{\nu }_{n}}}{{{L}_{n}}}}=\frac{{{\mu }_{m}}\times {{\nu }_{m}}\times {{L}_{m}}}{{{\mu }_{n}}\times {{\nu }_{n}}\times {{L}_{n}}}[/math]

Замінивши [math]\frac{\eta }{\rho }=\nu[/math] ми отримаємо основну умову подібності потоків, в яких основну роль відіграють сили внутрішнього тертя рідини. Для подібності таких потоків необхідно рівність чисел Рейнольдса. [math]\operatorname{Re}=\frac{\nu \times d}{\nu }=idem[/math]

Визначальною в потоці є сила тяжіння.

[math]\frac{{{G}_{m}}}{{{G}_{n}}}=\frac{{{M}_{m}}\times {{g}_{m}}}{{{M}_{n}}\times {{g}_{n}}}=\frac{{{\rho }_{m}}\times \nu _{m}^{2}\times L_{m}^{2}}{{{\rho }_{n}}\times \nu _{n}^{2}\times L_{n}^{2}}=\frac{{{\rho }_{m}}\times L_{m}^{3}\times {{g}_{m}}}{{{\rho }_{n}}\times L_{n}^{3}\times {{g}_{n}}}=\frac{\frac{\nu _{m}^{2}}{{{g}_{m}}\times {{L}_{m}}}}{\frac{\nu _{n}^{2}}{{{g}_{n}}\times {{L}_{n}}}}[/math]

Таким чином, якщо визначальною силою в потоці є сила тяжіння, то для подібності таких потоків необхідна сталість числа Фруда [math]Fr=\frac{{{v}^{2}}}{g\times L}=idem[/math]

Для потоку рідини, в якому визначальною силою є сила тиску:

[math]\frac{{{P}_{m}}}{P}=\frac{{{p}_{m}}\times {{S}_{m}}}{{{p}_{n}}\times {{S}_{n}}}=\frac{{{\rho }_{m}}\times L_{m}^{2}\times v_{m}^{2}}{{{\rho }_{n}}\times L_{n}^{2}\times v_{n}^{2}}=\frac{\frac{{{p}_{m}}}{{{v}_{m}}\times {{\rho }_{m}}}}{\frac{{{p}_{n}}}{{{v}_{n}}\times {{\rho }_{n}}}}[/math]

Якщо визначальною в потоці рідини є сила тиску, то для подібності таких потоків обов'язковою умовою є рівність критерію Ейлера [math]Eu=\frac{pv}{\rho }=idem[/math]

Математичне моделювання

Для побудови математичних моделей в гідравліці можуть бути використані процеси, що мають єдину з гідравлікою природу взаємодії фізичних тіл. Тобто моделями для процесів, що протікають в рідинах і газах, можуть служити лише ті фізичні процеси, які відносяться до групи електромагнітних взаємодій, які мають одного і того ж переносника взаємодії - фотон. У такому випадку основні процеси, що протікають в моделі і натурі, матимуть однакові рівняння, що описують подібні процеси. Так, для моделювання гідродинамічного поля (поля швидкостей руху рідини і газу) можуть бути використані електричні та теплові поля. З курсу фізики відомі загальні рівняння, що характеризують суцільність поля і його зміни. Це відоме рівняння нерозривності:

[math]\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}[/math]

і так звані рівняння несталого (рівняння Фур'є) і сталого (рівняння Лапласа) руху:

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{z}^{2}}}=\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial t}[/math] , або [math]{{\nabla }^{2}}\varphi =\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial t}[/math]

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{z}^{2}}}=0[/math] , або [math]{{\nabla }^{2}}\varphi =0[/math]

Найбільш зручним для цілей моделювання процесів що проходять в рідинах і газах є процеси, що протікають в електричному полі, оскільки останні відрізняються компактністю, доступністю для вимірювання і, що найголовніше, високою швидкістю протікання. Такі особливості електричного поля зробили його популярним для моделювання різних процесів, був розроблений спеціальний апарат для побудови електричних моделей процесів протікаючих в рідинах і газах, - метод електрогідродинамічної аналогії (ЕГДА). Побудовані на його базі серійні моделювальні комплекси аж до появи цифрових ЕОМ широко використовувалися в практиці наукових досліджень і на прямому виробництві. При вирішенні ряду задач актуальність цього методу залишається донині. Моделі, що будуються на базі теплового поля, використовуються вкрай рідко через трудомісткість їх створення і реалізації.

Автомодельність

Автомодельність - особлива симетрія фізичної системи, яка полягає в тому, що зміна масштабів незалежних змінних може бути скомпенсована перетворенням подібності інших динамічних змінних. Автомодельність призводить до ефективного скорочення числа незалежних змінних. Наприклад, якщо стан системи характеризується функцією, u(x,t) де х - координата, t - час, то умова інваріантності щодо зміни масштабів [math]{x}'=kx[/math] , tprime=lt і перетворення подібності буде таким:

[math]u(x,t)={{k}^{\frac{1}{\alpha }}}\times {{l}^{\beta }}u(kx,lt)[/math] . де [math]\alpha ,\beta[/math] - числа. Вибір, де m - критерій подібності (параметр), надає первісній функції автомодельний вид

[math]u(x,t)={{m}^{(1+\beta )}}\times {{t}^{-(1+\beta )}}u({{m}^{\alpha }}{{t}^{-\alpha }}x,m)[/math]

Автомодельність можлива, якщо набір параметрів, що визначають стан системи, не містить характерних масштабів незалежних змінних. Оскільки в більшості завдань форма перетворення подібності заздалегідь невідома, то автомодельну підстановку треба в кожному випадку знаходити окремо.

Аналіз розмірностей

Стан системи характеризується набором розмірних параметрів і функцій, що залежать від координат х, у, z і часу t. Якщо один з безрозмірних критеріїв подібності має вигляд [math]m=\frac{{{X}_{0}}}{{{b}^{T_{0}^{\alpha }}}}[/math] , де b - параметр, що має розмірність [math]\left[ b \right]=L{{T}^{-\alpha }},{{X}_{0}},{{T}_{0}}[/math] - характерні довжина і проміжок часу, L, Т - одиниці довжини і часу відповідно, то в якості автомодельних змінних можна вибрати безрозмірні комбінації [math]\frac{x}{b{{t}^{\alpha }}},\frac{y}{b{{t}^{\alpha }}},\frac{z}{b{{t}^{\alpha }}}[/math] . У тому випадку, коли є не більше двох визначальних параметрів з незалежними розмірностями, відмінними від довжини і часу, перехід до автомодельних змінних перетворює рівняння з приватними похідними в звичайне диференціальне рівняння.

Література

Гидравлика. Учебное пособие. М.Я. Кордон, В.И. Симакин, И.Д. Горешник, 2005

Механика жидкости и газа. Конспекты лекций. В.И. Сологаев, 1995