Нормальний закон розподілу

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: morituri Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 10 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Імя	Максим
Прізвище	Федчук
По-батькові	Ігорович
Факультет	ФІС
Група	СН-51

Загальні положення

Нормальний розподіл виражає закономірності зміни значень змінних під впливом багатьох випадково виникаючих факторів, які діють у різних напрямах так, що жоден з них не впливає на інший.

Крива нормального розподілу

Нормальний розподіл

Крива нормального розподілу імовірностей симетрична відносно осі y - найбільшої ординати, що відповідає середньому арифметичному [math]\bar x[/math] розглянутої змінної x. Точки перетину мають абсциси, які дорівнюють середньому квадратичному відхиленню цієї змінної, тобто [math]x_1=x-S[/math] та [math]x_2=\bar x + S[/math]. Ординати обох віток кривої спадають від найбільшої спочатку швидко, а потім повільніше і повільніше. Крива досягає значення у=0 при [math]x=\pm \infty[/math]. Проте значеннями ординати при [math]x=\bar x \pm 3S[/math] можна практично знехтувати. Крива нормального розподілу описується рівнянням

[math]y=\phi(x)=\frac{1}{S\sqrt{2\pi}}\exp \biggl[ -\frac{1}{2}(\frac{x-\bar x}{S})^2\biggr][/math],

де у - ордината точки кривої розподілу при заданому значенні розглядуваної змінної x. Із зменшенням СКВ крива нормального розподілу стає більш вузькою, витягнутою вгору, і навпаки, зі збільшенням S - розмитою і максимальне значення y зменшується. Замінивши [math]u=\frac{x - \bar x}{s}[/math] і вважаючи S=1, отримуємо рівняння кривої нормального розподілу нормованої випадкової величини:

[math]\phi(u)=\frac{1}{S\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{u^2}{2})[/math].

Якщо обґрунтовується припущення, що випадкова величина у генеральній сукупності розподілена нормально, вирівнюючі відносні частоти знаходять за формулою

[math]p_i=\frac{d}{S}\phi (u)[/math]

а вирівнюючі частоти - за формулою

[math]N_i=\frac{Nd}{S}\phi (u)[/math].

Ці залежності дають змогу побудувати нормальну криву за дослідними даними. Побудова такої кривої здійснюється з припущення, що в генеральній сукупності, число членів якої N може бути як завгодно великим, СКВ [math]\sigma[/math] дорівнює вибірковому S, а середнє арифметичне значення генеральної сукупності або математичне сподівання M[x] дорівнює середньому значенню x, утвореному з даної вибірки.

Порядок обчислення ординат кривої нормального розподілу

1. Визначають вибіркові характеристики [math]\bar x[/math] та S;
2. підраховують значення відхилень [math]x_m^*-\bar x[/math] і нормованих відхилень [math]u=(x_m^*-\bar x)/S[/math]
3. знаходять за відповідною таблицею значення [math]\phi(u)[/math], що відповідають обчисленим u, і множать на загальне для даного розподілу відношення d/S або Nd/S (де d - ширина інтервалу);
4. відкладають для відповідних абсцис змінних обчислені ординати [math]p_t^'[/math] або [math]N_t^'[/math].

Властивості нормального розподілу

Нормальний розподіл належить до унімодальних. Це означає, що існує єдине значення змінної, імовірність якого найбільша, і воно називається модою. Нормальний розподіл є симетричним, тобто для нього збігаються значення середнього арифметичного, медіани та моди і має властивість лінійності. У даному випадку це означає, що коли незалежні змінні [math]x_1[/math] і [math]x_2[/math] мають нормальний розподіл, то для довільних сталих чисел [math]\alpha[/math] i [math]\beta[/math] змінна [math]\alpha x_1 + \beta x_2[/math] також має нормальний розподіл.

Використана література

Математичне планування експериментів в АПК / В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров.-К.:Вища школа,1993.-374с.