Дисперсійний аналіз

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Pimchikoff Викладач: Назаревич О.Б. Термін до: 10 березня 2010 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

 http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/372 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

Загальні відомості про дисперсійний аналіз

Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують в економічних, технічних та соціальних експериментах.

Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу. Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так:

[math]{{x}_{ij}}=\overline{x}+{{\alpha }_{j}}+{{\varepsilon }_{ij}}[/math]

де [math]{{x}_{ij}}[/math] — значення ознаки X, одержане при i-му експерименті на j-му рівні фактора.

Під рівнем фактора розуміють певну його міру. Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в землю з метою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в грунт;

[math]\overline{x}[/math] — загальна середня величина ознаки X;

[math]{{\alpha }_{j}}[/math] — ефект впливу фактора на значення ознаки X на j-му рівні;

[math]{{\varepsilon }_{ij}}[/math] — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки X в i-му експерименті на j-му рівні.

При цьому [math]M({{\varepsilon }_{ij}})=0[/math] і [math]{{\varepsilon }_{\text{ij}}}[/math], як випадкові величини мають закон розподілу ймовірностей [math]N\left( 0;{{\sigma }^{2}} \right)[/math] і між собою незалежні [math]({{K}_{ij}}=0\text{ })[/math].

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу двох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

[math]{{x}_{ijk}}=\overline{x}+{{\alpha }_{i}}+{{\beta }_{j}}+{{\gamma }_{ij}}+{{\varepsilon }_{ijk}}[/math]

де [math]{{x}_{i}}_{jk}[/math] – значення ознаки Х в i-му експерименті на j-му рівні впливу фактора A і на k-му рівні впливу фактора В; [math]\overline{x}[/math] — загальна середня величина ознаки X; [math]{{\alpha }_{i}}[/math] — ефект впливу фактора А на i-му рівні, [math]{{\beta }_{j}}[/math] — ефект впливу фактора В на j-му рівні; [math]{{\gamma }_{ij}}[/math] — ефект одночасного впливу факторів A і В; [math]{{\varepsilon }_{ijk}}[/math] — випадкова компонента. У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів.

Попередні методи статистичного аналізу даних використовують для порівняння двох об’єктів. Але на практиці часто виникають завдання, що стосуються групи об’єктів (наборів спостережуваних даних). Одним з методів для таких завдань є дисперсійний аналіз – статистичний метод виявлення на досліджувану випадкову величину (параметр) одночасної дії одного або декількох факторів. Дія деякого фактора на складну систему спричинює мінливість його властивостей. Фактор може бути відомий або невідомий, природного або штучного походження, як от: умови експерименту, методика вимірювань і опрацювання тощо.

За кількістю оцінюваних факторів дисперсійний аналіз поділяють на одно-, дво- та багатофакторний. Кожен фактор може бути дискретною чи неперервною випадковою змінною, яку розділяють на декілька сталих рівнів (градацій, інтервалів). Якщо кількість вимірювань на всіх рівнях кожного з факторів однакова, то дисперсійний аналіз називають рівномірним, інакше – нерівномірним.

В основі дисперсійного аналізу є такий принцип (факт з математичної статистики): якщо на випадкову величину діють взаємно незалежні фактори A, B, то загальна дисперсія дорівнює сумі дисперсій, зумовлених дією окремо кожного з факторів:

[math]{{\sigma }^{2}}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+...[/math]

Цей метод ґрунтується на розділенні загальної дисперсії [math]\sigma _{T}^{2}[/math] на складові, що відповідають впливу різних джерел мінливості (дисперсія [math]\sigma _{R}^{2}[/math], зумовлена дією факторів, і залишкова дисперсія [math]\sigma _{D}^{2}[/math], [math]\sigma _{T}^{2}=\sigma _{R}^{2}+\sigma _{D}^{2}[/math]), а застосовувані критерії дають змогу одночасно вивчати відмінності як у середніх значеннях, так і в дисперсіях.

Однофакторний дисперсійний аналіз

Для простоти розглянемо спочатку рівномірний дисперсійний аналіз (одну з можливих моделей), а потім наведемо необхідні модифікації для виконання нерівномірного аналізу.

Результати вимірювань запишемо у вигляді матриці з n рядків та p стовпців:

[math]Y=\left[ \begin{matrix} {{y}_{11}} & ... & {{y}_{1p}} \\ ... & {{y}_{ij}} & ... \\ {{y}_{n1}} & ... & {{y}_{np}} \\ \end{matrix} \right][/math]

Кожен стовпець (градацію фактора) треба розглядати як вибірку нормально розподілених випадкових величин [math]{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},...,{{\xi }_{p}}[/math] з параметрами [math]M({{\xi }_{j}})={{\mu }_{j}}[/math], [math]D({{\xi }_{j}})={{\sigma }^{2}}[/math] для всіх j=1,…,p (дисперсії однакові).

Отже, для кожної градації фактора (стовпця таблиці даних) маємо фіксоване середнє значення, що є сталим у межах експерименту. Гіпотезу для перевірки сформулюємо так:

[math]{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}={{\mu }_{2}}=...={{\mu }_{p}}=\mu[/math]

Отже, дисперсія випадкової величини [math]{{y}_{ij}}[/math], зумовлена дією фактора на всіх рівнях, [math]\sigma _{R}^{2}=0[/math], і вся мінливість буде спричинена неврахованими факторами:

[math]\sigma _{T}^{2}=\sigma _{D}^{2}[/math] або [math]D({{y}_{ij}})=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{D}^{2}[/math]

Дробові репліки

Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають [math]2^{k-p}[/math], де

• k-кількість експериментів;
• p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.

При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).

Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів

Кількість факторів	Дробова репліка	Умовне позначення	Кількість експериментів для дробової репліки	Кількість експериментів для повного факторного експеримента
3	1/2 репліка від [math]2^3[/math]	[math]2^{3-1}[/math]	4	8
4	1/4 репліка від [math]2^4[/math]	[math]2^{4-1}[/math]	8	16
5	1/4 репліка від [math]2^5[/math]	[math]2^{5-2}[/math]	8	32
6	1/8 репліка від [math]2^6[/math]	[math]2^{6-3}[/math]	8	64
7	1/16 репліка від [math]2^7[/math]	[math]2^{7-4}[/math]	8	128
5	1/2 репліка від [math]2^5[/math]	[math]2^{5-1}[/math]	16	32
6	1/4 репліка від [math]2^6[/math]	[math]2^{6-2}[/math]	16	64
7	1/8 репліка від [math]2^7[/math]	[math]2^{7-3}[/math]	16	128
8	1/16 репліка від [math]2^8[/math]	[math]2^{8-4}[/math]	16	256
9	1/32 репліка від [math]2^9[/math]	[math]2^{9-5}[/math]	16	512
10	1/64 репліка від [math]2^{10}[/math]	[math]2^{10-6}[/math]	16	1024
11	1/128 репліка від [math]2^{11}[/math]	[math]2^{11-7}[/math]	16	2048
12	1/256 репліка від [math]2^{12}[/math]	[math]2^{12-8}[/math]	16	4096
13	1/512 репліка від [math]2^{13}[/math]	[math]2^{13-9}[/math]	16	8192
14	1/1024 репліка від [math]2^{14}[/math]	[math]2^{14-10}[/math]	16	16384
15	1/2048 репліка від [math]2^{15}[/math]	[math]2^{15-11}[/math]	16	32768

Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень.

Генеруючі співвідношення. Насичені плани

Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу [math]2^{3-1}[/math] може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: [math]x_3=x_1x_2[/math], [math]x_3=-x_1x_2[/math]:

Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну [math]x_3[/math]:[math]x^2_3=x_1x_2x_3[/math], [math]x^2_3=-x_1x_2x_3[/math].

Таблиця 4 - Матриця планування [math]2^{3-1}[/math] представлена двома репліками

№ Експеримету	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_3[/math]	№ Експеримету	[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]x_3[/math]
1	-	+	-	1	-	+	+
2	+	+	+	2	-	+	+
3	-	-	+	3	-	-	-
4	+	-	-	4	+	-	+

Оскільки [math]x^2_i[/math], одержимо наступні співвідношення: [math]1=x_1x_2x_3[/math], [math]1=-x_1x_2x_3[/math]. У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні [math]x_1, x_2 i x_3[/math] на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на [math]x_1[/math], одержимо співвідношення [math]x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3[/math] Оскільки, [math]x^2_1=1[/math], то [math]x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3[/math]. При множенні визначальних контрастів на [math]x_2 & x_3[/math], одержимо співвідношення: [math]x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2[/math]. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:

[math]b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23}[/math] [math]b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13}[/math] [math]b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12}[/math]

У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки. Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою.

Ефективність реплік

• Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.
• Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.
• Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.

Список використаних джерел

1. 1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
2. 2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
3. 3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Студент: Користувач:POWER

Виступ відбувся: 4 березня 2010

Тема: Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.