Кінематика рідин

1. Методи вивчення руху рідини

Кінематика рідини – розділ гідрогазодинаміки, в якому вивчаються лише геометричні властивості руху рідини. В силу цього всі основні виводи кінематики справедливі для любої рідини, як в’язкої, та і нев’язкої. В основу вивчення кінематики рідини покладені гіпотези про неперервність зміни кінематичних параметрів (швидкостей, прискорень). Тобто швидкість рідини передбачається неперервною функцією від координат, а отже такою, яку можна диференціювати. Для зручності досліджень любий рідинний об’єм представляють складеним із великої кількості рідинних частинок. У відповідності до цього до дослідження руху рідинної частинки можливий такий же підхід, як і до досліджень руху точки в механіці. Існують два основних метода дослідження кінематики рідини: метод Лагранжа і метод Ейлера. Переважне розповсюдження одержав метод Ейлера, згідно якого розглядається поле швидкостей в точках простору, занятого рідиною, що рухається. Поле швидкостей задається у вигляді

(1.0)

де ,u, v, w– проекції швидкості на декартові вісі координат;

x, у, z – координати точок простору;

Залежності (1.1) описують неусталений рух, якщо то рух усталений стаціонарний. Важливі в кінематиці поняття про лінії струменя і траєкторії частинок рідини, що рухаються. Лініями току називають криві, в кожній точці котрих в даний момент часу вектор швидкості співпадає по направленню з дотичною. Диференціальні рівняння ліній струменя мають вигляд

(1.2)

а рівняння траєкторії –

(1.3)

Під траєкторією розуміють геометричне місце послідовних положень частинки, що рухається, в розглядаємій системі координат. При усталеному русі траєкторії і лінії току співпадають. Вектор швидкості частинки рідини можна представити D11.PNG

Проекції прискорень рідинної частинки на декартові вісі координат визначають із співвідношень

(1.4)

Перші члени правих частин системи рівнянь (1.4) відбивають зміну проекцій швидкостей в даній точці простору в зв’язку зі нестаціонарністю поля швидкості і носять назву локальних прискорень, інші члени зв’язані з неоднорідністю поля швидкостей і називають конвективними прискореннями.

2 Закон збереження маси

В гідродинаміці цей закон в загальному випадку представляється у вигляді рівняння нерозривності (суцільності)

(2.1)

де r – густина рідини. Для нестисливої рідини

(2.2)

або в проекції на декартові вісі координат

(2.3)

Рух нестисливого суцільного середовища можливий лише у випадку, коли для розглядаємого поля швидкостей справедлива рівність (3.7). Потік вектора швидкості через поверхню w є скалярною величиною, яка визначається за формулою

(2.3)

В координатній формі

(2.4)

Фізично потік вектора швидкості уявляє собою секундну об’ємну витрату рідини через поверхню w. Сукупність ліній течії, які проходять через всі точки нескінченно малого замкнутого контуру, утворюють поверхню, яка називається трубкою течії. Рідина, яка заключна в середині трубки току, називається струменем. Рівняння суцільності для струменя нестисливої рідини має вигляд

(2.5)