Теорема Коші-Гельмгольца

З теоретичної механіки відомо, що в загальному випадку рух твердого тіла в кожен момент складається з поступального переміщення полюса і обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей полюс. Рух рідини більш складний. Кожна рідка частинка, крім поступального переміщення і обертання, зазнає ще й деформації. Для вивчення всіх складових руху розглянемо нескінченно малу рідку частинку в довільний момент часу (рис. 1). Позначимо проекції швидкості у точці М(x,y,z) – центрі частинки, прийнятому за полюс, через [math]v_x(x,y,z)[/math] ; [math]v_y(x,y,z)[/math]; [math]v_z(x,y,z)[/math]. Тоді в деякій точці M1 із координатами [math](x+x_1, y+y_1, z+z_1)[/math] на поверхні частинки проекції швидкості можуть бути записані у вигляді

де [math]x_1, y_1[/math] і [math]z_1[/math] в силу малих розмірів частинки являються нескінченно малими величинами

рис. 1 Частинка рідини у різних системах координат

Розкладемо функції швидкостей [math]v_x,v_y,v_z[/math]в ряди Тейлора по степеням [math]x_1, y_1, z_1[/math] в окрузі точки М(x,y,z). Утримуючи члени до першого порядку малости включно, отримаємо

де для скорочення запису, замість [math]v_x(x,y,z)[/math] записано [math]v_x[/math] и т. д. Після нескладних перетворень можна отримати

,

де

Вияснимо фізичний зміст кожного із складових в (2.4): - [math]v_x, v_y[/math] і [math]v_z[/math] - проекції поступальної швидкості центру рідкої частинки; - пари останніх складових([math]w_yz_1, w_zy_1[/math] та ін.) – проекції швидкості руху частинок навколо миттєвої осі, що проходить через її центр. Такий обертовий рух частинки в гідромеханіці називають вихровим, а проекції кутової швидкості обертання [math]w_x, w_y, w_z[/math] - компонентами вихoру (ротора). Із векторного аналізу і формул (2.5) випливає, що кутова швидкість

де rot[math]v[/math] - вихор швидкості;

- три складові, які залишились кожної із формул (2.4) пов'язані із деформацією рідкої частинки у часі. Величини [math]\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z[/math] характеризують швидкості деформації розтягнення (стиску) рідкої частинки, а [math]\theta_x, \theta_y, \theta_z[/math] - швидкості деформації зсуву (перекосу).

Все описане тут і становить суть теореми Коші-Гельмгольца: швидкість будь-якої рідкої частки складається з швидкості полюса, швидкості обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей полюс, а також швидкості деформаційного руху, що складається з лінійної деформації і деформації зсуву.