Ядерне згладжуваня

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 18 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Ядерне згладжуваня - один із найпростіших видів непараметричної регресії.

Постановка задачі

Вирішується завдання відновлення регресії. Заданий простір об'єктів [math]x[/math] і безліч можливих відповідей [math]y=r[/math]. Існує невідома цільова залежність [math]y^*: X \rightarrow Y[/math], значення якої відомі лише на об'єктах навчальної вибірки [math]X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m[/math]. Потрібно побудувати алгоритм [math]a: X \rightarrow Y[/math], що апроксимує цільову залежність [math]y^*[/math].

Принцип

Принцип, використання ідейно простого підхіду до уявлення послідовності вагів [math]\{ W_{mi}(x)\}_{i=1}^m[/math] полягає в описі форми вагової функції [math]w_{mi}(x)[/math] за допомогою функції щільності із скалярним параметром, який регулює розмір і форму вагів біля х. Цю функцію форми прийнято називати 'ядром' [math]k[/math]. Отримані таким чином ваги далі використовуються для представлення величини [math]a(x)[/math] у вигляді зваженої суми значень [math]y_i[/math] навчаючої вибірки.

Опис методу

Визначення ядра

Ядро — це неперермвна обмеженна симетрична речовина функція [math]K[/math] з одиничним інтегралом

[math]\int K(u)du=1[/math]

Послідовність ваги

Послідовність ваги для ядерних оцінок (для одновимірного [math]x[/math]) знаходиться як ::[math]W_{mi}(x)=\frac{K_{h_m}(x-X_i)}{\hat{f}_{h_m}(x)}[/math], де

[math]\hat{f}_{h_m}(x)=\frac1m \sum_{i=1}^m K_{h_m}(x-X_i)[/math],

a

[math]K_{h_m}(u)=\frac{1}{h_m} K\(\frac{u}{h_m}\)[/math]

уявимо собі ядро з параметром [math]h_m[/math]. Також цей параметр прийнято називати шириной вікна. Підкреслемо залежність [math]h\ =\ h_m[/math] від об'єму вибірки [math]m[/math], умова скороченого значення послідовністі ваги [math]W_{mi}(x)[/math].

Функція ядра

Функція [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] являєтся ядерною оцінкою щільності Розенблата — Парзена (Rosenblatt, 1956; Parzen, 1962) для (маргинальної) щільності зміної [math]x[/math]. Даний вид ядерних вагів [math]W_{mi}(x)[/math] був запропонований в работах (Nadaraya, 1964) і (Watson, 1964). Як наслідок, оцінка очікуваної величини відновлюваної залежності [math]e(y\|x)[/math]: ::[math]\hat{m}_h(x)=\frac{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-x_i) Y_i}{\frac1m\textstyle\sum\limits_{i=1}^m K_{h_m}(x-x_i)}[/math] часто називають оцінкою Надарая—Ватсона. Ширіна вікна визначає, наскільки швидко убувають ваги [math]w_{mi}(x)[/math] у міру видалення об'єктів [math]x_i[/math] від [math]x[/math].

Характер убування визначається виглядом ядра [math]k[/math]. Нормалізація вагів [math]\hat{f}_{h_m}(x)[/math] гарантує, що сума вагів дорівнює одиниці.

Примітка. При ряду умов має місце збіжність по вірогідності даної оцінки до [math]e(y|x)[/math].

Приклад функції ядра

Приклади різних функцій ядра.

На практиці використовується декілька видів ядерних функцій. Чаще всего используется квартическая ядерная функция

[math]K(u)=(15/16)(1-u^2)^2I(\| u \| \le 1)[/math].

Також викоритовуєтьсятся ядро Епанечникова, яке володіє деякими властивостями оптимальності [Хардле В п 4.5]; це функція параболического типа (Epanechnikov, 1969; Bartlett, 1963):

[math]K(u)=0.75(1-u^2)I(\| u \| \le 1)[/math].

Іншим прикладом є ядро Гаусса,

[math]K(u)=(2\pi)^{-1/2} \exp(-u^2/2)[/math],

трикутне ядро

[math]K(u)=(1-\|u\|)I(\| u \| \le 1)[/math],

і прямокутне ядро

[math]K(u)=(1/2)I(\| u \| \le 1)[/math].

Примітка. Точність відновленоії залежності мало залежить від вибору ядра. Ядро визначає міру гладкості функції [math]a(x)[/math].

Залежність від ширини вікна

Вибір вікна вирішальним чином впливає на точність відновлюваної залежності. При занадто малих значеннях [math]h[/math] крива [math]a(x)[/math] прагне пройти через кожну точку вибірки, гостро реагуючи на шуми і зазнаючи різкі скачки, оскільки в цьому випадку оцінка опирається лише на невелике число спостережень з вузької окружності точки [math]x[/math]. Навпаки, якщо ширина вікна велика, функція надмірно згладжується і в межі при [math]h \rightarrow \infty[/math] вироджується в константу -- усереднене значення величин [math]y_i[/math]. В цьому випадку згладжена функція не дає можливості визначити характерні особливості шуканої залежності [math]y^*(x)[/math].

Література

1. Хардле В.Прикладна непараметрична регресія-1989р.
2. Воронцов К.В.Лекції по алгоритмам відновлення регресії - 2007.
3. Лагутин М.Б.Прикладна математична статистика.- 2009

Див. також

• Алгоритм LOWESS
• Варіація і зміщення
• Регресійний аналіз

посилання

Непараметрична регресія