Метод Девідона – Флетчера – Пауела

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Храплива У.В. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 20 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

Прізвище	Храплива
Ім'я	Уляна
По батькові	Вікторівна
Факультет	ФІС
Група	СНм-51
Залікова книжка	СНм-11-253

Початковий етап

Нехай [math]\varepsilon \succ 0[/math] - константа для зупинки. Вибрати точку [math]{x_1}[/math] і початково симетричну позитивно визначену матрицю [math]{D_1}[/math]. Покласти [math]{y_1} = {x_1}[/math], k = j = 1 і перейти до основного етапу.

Основний етап

Крок 1. Якщо [math]\left\| {\left. {\nabla f({y_i})} \right\| \lt \varepsilon } \right.[/math], то зупинитися; в іншому випадку [math]{d_i} = - {D_i}\nabla f({y_i})[/math] і узяти в якості [math]{\lambda _i}[/math] оптимальне рішення задачі мінімізації [math]f({y_i} + \lambda {d_i})[/math] при [math]\lambda \ge 0[/math]. Покласти [math]{y_{i + 1}} = {y_i} + {\lambda _i}{d_i}[/math]. Якщо j < n, то перейти до кроку 2. Якщо j = n, то покласти [math]{y_1} = {x_{k + 1}} = {y_{n + 1}}[/math], замінити k на k+1, покласти j=1 і повторити крок 1.
Крок 2. Побудувати [math]{D_{j + 1}}[/math] таким чином:

[math]{D_{j + 1}} = {D_j} + {\textstyle{{{p_j}p_j^T} \over {p_j^T{p_j}}}} - {\textstyle{{{D_j}{q_j}q_j^T{D_j}} \over {q_j^T{D_j}{q_j}}}},[/math](1)
де [math]{p_i} = {\lambda _i}{d_i},[/math](2)
де [math]{q_i} = \nabla f({y_{i + 1}}) - \nabla f({y_i}).[/math](3)

Замінити j на j+1 і перейти до кроку 1.

Приклад

Мінімізувати [math]{({x_1} - 2)^4} + {({x_1} - 2{x_2})^2}.[/math]
Результати обчислень методом Девідона - Флетчера - Пауелла приведені в таблиці 1.

k	[math]{x_k}[/math] [math]f({x_k})[/math]	j	[math]{y_j}[/math] [math]f({y_j})[/math]	[math]\nabla f({y_j})[/math]	[math]\left\| {\left. {\nabla f({y_j})} \right\|} \right.[/math]	D	[math]{d_j}[/math]	[math]{\lambda _j}[/math]	[math]{y_{j + 1}}[/math]
1	(0.00,3.00) (52.00)	1	(0.00,3.00) (52.00)	(-44.00,24.00)	50.12	[math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math]	(44.00,-24.00)	0.062	(2.70, 1.51)
		2	(2.70,1.51) (0.34)	(0.73,1.28)	1.47	[math]$\left[ 0.25|0.38\\ 0.38|0.71 \right]$[/math]	(-0.67,-1.31)	0.22	(2.55,1.22)
2	(2.55,1.22) (0.1036)	1	(2.55,1.22) (0.1036)	(0.89,-0.44)	0.99	[math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math]	(-0.89,0.44)	0.11	(2.45,1.27)
		2	(2.45,1.27) (0.0490)	(0.18,0.36)	0.40	[math]$\left[ 0.65|0.45\\ 0.45|0.46 \right]$[/math]	(-0.28,-0.25)	0.64	(2.27,1.11)
3	(2.27,1.11) (0,008)	1	(2.27,1.11) (0,008)	(0.18,-0.20)	0.27	[math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math]	(-0.18,0.20)	0.10	(2.25,1.13)
		2	(2.25,1.13) (0.004)	(0.04,0.04)	0.06	[math]$\left[ 0.80|0.38\\ 0.38|0.31 \right]$[/math]	(-0.05,-0.03)	2.64	(2.12,1.05)
4	(2.12,1.05) (0,0005)	1	(2.12,1.05) (0,0005)	(0.05,-0.08)	0.09	[math]$\left[ 1|0\\ 0|1 \right]$[/math]	(-0.05,0.08)	0.10	(2.115,1.058)
		2	(2.115,1.058) (0.0002)	(0.004,0.004)	0.006

На кожній ітерації вектор[math]{d_j}[/math] для j=1,2 визначається у вигляді [math] - {D_j}\nabla f({y_j})[/math], де [math]{D_1}[/math] одинична матриця, а [math]{D_2}[/math] обчислюється по формулах (1) - (3). При k = 1 маємо [math]{p_1} = {(2.7, - 1.49)^T},{q_1} = {(44.73, - 22.72)^T}[/math]. На другій ітерації [math]{p_1} = {(-0.1, 0.05)^T},{q_1} = {(-0.7, 0.8)^T}[/math] і, нарешті, на третій ітерації [math]{p_1} = {(-0.02, 0.02)^T},{q_1} = {(-0.14, 0.24)^T}[/math]. Точка [math]{y_{j + 1}}[/math] обчислюється оптимізацією уздовж напряму [math]{d_j}[/math] при початковій точці [math]{y_j}[/math] для j = 1, 2. Процедура зупинена в точці [math]{y_2} = {(2.115, 1.058)^T}[/math] на четвертій ітерації оскільки норма [math]\left\| {\left. {f({y_2})} \right\| = 0.006} \right.[/math] досить мала. Траєкторія руху, отримана методом, показана на рисунку 1.
Рисунок 1 - Метод Девідона - Флетчера - Пауелла.

Лема показує, що кожна матриця [math]{d_j}[/math] позитивно визначена і [math]{d_j}[/math] є напрямом спуску. Для доказу леми нам знадобиться :
Теорема 1. Нехай S - непорожня безліч в Еn, точка [math]x \in cl[/math] S. Конусом можливих напрямів в точці x називається безліч [math]D = \left\{ {d:d \ne 0,x + \lambda d \right \in S[/math]при всіх [math]\lambda \in (0,\delta )[/math] для деякого [math]\delta \gt 0}[/math].
Визначення.Нехай x і y - вектори з Еn і [math]\left| {{x^T}y} \right|[/math] - абсолютне значення скалярного відтворення [math]\left {{x^T}y} \right[/math]. Тоді виконується наступна нерівність, звана нерівністю Шварца:

[math]\left| {{x^T}y} \right| \le \left\| x \right\|\left\| y \right\|[/math].

Лема 1

Нехай [math]{y_1} \in {E_n}[/math], а [math]{D_1}[/math] – початкова позитивно певна симетрична матриця. Для j = 1 ..., n покладемо [math]{y_{j + 1}} = {y_j} + {\lambda _j}{d_j}[/math], де [math]{d_j} = - D\nabla f({y_j})[/math], а [math]{\lambda _j}[/math] є оптимальним рішенням задачі мінімізації [math]f({y_j} + \lambda {d_j})[/math] при [math]\lambda \ge 0[/math]. Нехай, крім того, для j = 1 ..., n – 1 матриця Dj+1 визначається по формулах (1) - (3). Якщо [math]\nabla f({y_j}) \ne 0[/math] для j = 1 ..., n, то матриці D1 ...,Dn симетричні і позитивно визначені, так що d1 ..., dn – напрями спуску.

Доведення
Проведено доведення по індукції. При j = 1 матриця D1 симетрична і позитивно визначена по умові леми. Крім того, [math]\nabla f{({y_1})^T}{d_1} = - \nabla f{({y_1})^T}{D_1}\nabla f({y_1}) \lt 0[/math], оскільки D1 позитивно визначена. Тоді по теоремі 1 вектор d1 визначає напрям спуску. Передбачимо, що затвердження леми справедливе для деякого [math]j \le n - 1[/math], і покажемо, що воно справедливе для j+1. Нехай x – ненульовий вектор з En, тоді з (1) маємо

[math]{x^T}{D_{j + 1}}x = {x^T}{D_j}x + {\textstyle{{{{({x^T}{p_j})}^2}} \over {p_j^T{D_j}{q_j}}}}[/math](4)

Оскільки Dj – симетрична позитивно певна матриця, то існує позитивно визначена матриця [math]D_j^{1/2}[/math], така, що [math]{D_j} = D_j^{1/2}D_j^{1/2}[/math]. Нехай [math]a = D_j^{1/2}x[/math] і [math]b = D_j^{1/2}{q_j}[/math]. Тоді [math]{x^T}{D_j}x = {a^T}a,q_j^T{D_j}{q_j} = {b^T}b,{x^T}{D_j}{q_j} = {a^T}b[/math]. Підставляючи ці вирази в (4), отримуємо:

[math]{x^T}{D_{j + 1}}x = {\textstyle{{({a^T}a)({b^T}b) - {{({a^T}b)}^2}} \over {{b^T}b}}} + {\textstyle{{{{({x^T}{p_j})}^2}} \over {p_j^T{q_j}}}}[/math](5)

По нерівності Шварця маємо [math]({a^T}a)({b^T}b) \ge {({a^T}b)^2[/math]. Так, щоб довести, що[math]{x^T}{D_{j + 1}}x \ge 0[/math], досить показати, що [math]p_j^T{q_j} \ge 0,{b^T}b \gt 0[/math]. З (2) і (3) витікає, що

[math]p_j^T{q_j} = {\lambda _j}d_j^T\left[ {\nabla f({y_{j + 1}}) - \nabla f({y_j})} \right][/math](6).

По припущенню [math]\nabla f({y_j}) \ne 0[/math], і Dj позитивно визначена, так що[math]\nabla f{({y_j})^T}{D_j}\nabla f({y_j}) \gt 0[/math] Крім того, dj - напрямок спуску, і [math]{\lambda _j} \gt 0[/math]. Тоді із (6) слідує, що [math]p_j^T{q_j} \gt 0[/math]. Крім того [math]{q_j} \ne 0[/math] і [math]{b^T}b = q_j^T{D_j}{q_j} \gt 0[/math]
Видно тепер, що [math]{x^T}{D_{j + 1}}x \gt 0[/math]. Взяти [math]{x^T}{D_{j + 1}}x = 0[/math]. Це можливо тільки в тому випадку якщо [math]({a^T}a)({b^T}b) = {({a^T}b)^2},p_j^Tx = 0[/math]. Видно, що [math]({a^T}a)({b^T}b) = {({a^T}b)^2}[/math] тільки при [math]a = \lambda b,D_j^{1/2}x = \lambda D_j^{1/2}{q_j}[/math]. Таким чином [math]x = \lambda {q_i}[/math]. Так як [math]x \ne 0[/math]то[math]\lambda \ne 0[/math]. Дальше, [math]0 = p_j^Tx = \lambda p_j^T{q_j}[/math]заперечує тому, що [math]p_j^T{q_j} \gt 0,\lambda \ne 0[/math].
Отже, [math]{x^T}{D_{j + 1}}x \gt 0[/math], матриця [math]{D_{j + 1}}[/math] позитивно визначена.
Оскільки [math]\nabla f({y_{j + 1}}) \ne 0[/math] і Dj+1 позитивно визначена, маємо [math]\nabla f{({y_{j + 1}})^T}{d_{j + 1}} = - \nabla f{({y_{j + 1}})^T}{D_{j + 1}}\nabla f({y_{j + 1}}) \lt 0[/math]. Звідси по теоремі 1 слідує, що dj+1 - напрямок спуску.
Лема доведена!!!

Список використаної літератури

1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М., 1982
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., 1975