Критерій Фішера

Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням. Студент: Шостак В.М. Викладач: Назаревич О. Б. Термін до: 10 березня 2012 До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.

{{{img}}}
Імя	Володимир
Прізвище	Шостак
По-батькові	Михайлович
Факультет	ФІС
Група	СН-51
Залікова книжка	СН-11-222

Критерій Фішера застосовується для перевірки рівності дисперсій двох вибірок. Його відносять до критеріїв розсіювання.

При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням критерію Стьюдента має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона вірна, то для порівняння середніх можна скористатися більш потужнім критерієм.

У регресійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей. Зокрема, він використовується в крокової регресії для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.

У дисперсійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії. Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних. Перед його застосуванням рекомендується виконати перевірку нормальності.

Опис критерію

Задані дві вибірки [math]x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}[/math].

Позначим через [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math] дисперсії вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math], [math]s_1^2[/math] и [math]s_2^2[/math] — вибіркові оцінки дисперсій [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math]:

[math]s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2[/math];

[math]s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2[/math],

де

[math]\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}[/math] — вибіркові средніх вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math].

Додаткове припущення: вибірки [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math] є нормальними. Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність.

Нульова гіпотеза [math]H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2[/math]

Статистика критерію Фішера:

[math]F=\frac{s_1^2}{s_2^2}[/math]

має росподіл Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи. Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. Одже критичною областью критерия є правий хвіст розподілу Фішера, що відповідає альтернативній гіпотезі [math]H_1'[/math].

Критерій (при рівні значущості [math]\alpha[/math]):

• проти альтернативи [math]H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2[/math]

якщо [math]F\lt F_{\alpha/2}(n-1,m-1)[/math] або [math]F\gt F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)[/math], то нульова гіпотеза [math]H_0[/math] відкидається на користь альтернативи [math]H_1[/math].

• проти альтернативи [math]H_1':\; \sigma_1^2 \gt \sigma_2^2[/math]

якщо [math]F\gt F_{1-\alpha}(n-1,m-1)[/math], то нульова гіпотеза [math]H_0[/math] відкидається на користь альтернативи [math]H_1'[/math];

де [math]F_{\alpha}(n-1,m-1)[/math] є [math]\alpha[/math]-квантиль розподілу Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи.

Література

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Дивитись. також

• Критерій Стьюдента
• Перевірка статистичних гіпотез
• Статистика (функція вибірки)
• Нормальний дисперсійний аналіз

Ссилки

• Распределение Фишера (Википедия).
• Критерий Фишера (Википедия).